热门试卷

（I）因为=

所以=

即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-COSbsinA

所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA

所以=2

（II）由（1）可知c=2a…①

a+b+c=5…②

b2=a2+c2-2accosB…③

cosB=…④

解①②③④可得a=1，b=c=2；

所以b=2，由余弦定理可知cosA==，所以sinA=，

∴cos(2A+)=cos2A-sin2A

=cos2A--sinAcosA

=(

7

8

)2--××

=．

（1）利用正弦定理化简已知等式得：=，

整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，

即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），

∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，

则=；

（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得：c=2a，

利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-a2=4a2，即b=2a，

∵△ABC周长a+b+c=5，即a+2a+2a=5，

解得：a=1，

则b=2a=2．

解析：（1）△ABC中，由正弦定理得sinA=，sinB=，sinC=，

代入已知式，可得 a2+c2-b2=ac，

再由余弦定理求得，cosB==，∴B=．

（2）△ABC中，A+B+C=π，又B=，∴A+C=，即 C=-A，A-C=2A-．

∴2cos2A+cos（A-C）=2cos2A+cos（2A-）=cos2A+1+cos2A•（-）+sin2A•=sin2A+cos2A+1

=sin（2A+）+1．

∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴-1＜sin（2A+）≤1，0＜sin（2A+）+1≤2，

即2cos2A+cos（A-C）的范围是（0，2]．

（Ⅰ）由正弦定理得=．

因为0＜A＜π，0＜C＜π．

所以sinA＞0．从而sinC=cosC．

又cosC≠0，所以tanC=1，则C=．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=-A．

于是sina-cos(B+)=sina-cos(π-A)=sinA+cosA=2sin(A+)．

因为0＜A＜，所以＜A+＜，

所以当A+=，即A=时，2sin(A+)取最大值2．

综上所述，sinA-cos(B+)的最大值为2，此时A=．…（9分）

（Ⅰ）由A+C=π-B=3B⇒B=，---------------（1分）

所以cos(B+C)=cos(+C)=-，--------------（2分）

因为sin(B+C)=sin(+C)==，-------------（4分）

所以sinC=sin[(+C)-]=sin(+C)cos-cos(+C)sin=×+×=．-----（7分）

（Ⅱ）由已知得sinA=sin(B+C)==，-------------（8分）

因为a=5 ， B= ， sinC=，

所以由正弦定理==得===，

解得b= ， c=．-----------------（12分）

所以△ABC的面积S=absinC=×5××=．----------（14分）

（1）由正弦定理知==2，又a=，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，故A=．

（2）+2cosB=2cosC+2cosB=2cos(π--B)+2cosB=2cos(-B)+2cosB=-cosB+sinB+2cosB=cosB+sinB=2sin(+B)．

由于△ABC为锐角三角形，故有，∴＜B＜，

∴＜+B＜，∴＜sin(+B)≤1，∴＜2sin(+B)≤2，

∴+2cosB的取值范围是(，2]．

（1）∵∥

由向量平行的坐标表示可得，=即ab=4cosAcosB

∵△ABC的外接圆半径为1

由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB

∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0

∵0＜A+B＜π

∴A+B=π故△ABC为直角三角形

∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+)

∵＜A+＜

∴＜sin(A+)≤1

∴1＜sinA+sinB≤

（2）由题意可得，x===

设t=sinA-cosA（-1＜t＜），则2sinAcosA=1-t2

∴x=

∵=＞0

故x=在（-1，）上单调递增

∴＜=

∴x的取值范围是x＜

（1）因为bcosC+c=a．

由正弦定理可知：sinBcosC+sinC=sinA，

sinBcosC+sinC=sinBcosC+cosBsinC，

cosB=，B为三角形内角，

所以B=，

（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，

由余弦定理b2=a2+c2-ac，

可得a2+c2-2ac=0，a=b=c，

所以三角形为等边三角形．

（Ⅰ）sinC=sin（π-A-B）=sin=；

（Ⅱ）证明：在△ABC中，由正弦定理得=，

∵BC=2，sinA=，B+C=，

∴AB==4sin（-B）；

（Ⅲ）∵||=2，||=4sin（-B），

∴•=||||cosB=8sin（-B）cosB=8cosB（cosB+sinB）=4sin（2B+）+2

=2+2cos2B+2sin2B=4sin（2B+）+2，

∵B∈（，），∴2B+∈（，），

∴sin（2B+）∈[-1，-），

则•=的取值范围是[-2，0）．

（I）A+B+C=π

得sinC=sin（A+B）代入已知条件得sinAsinB=cosAsinB

∵sinB≠0，由此得tanA=，A=

（II）由上可知：B+C=，∴C=-B

由正弦定理得：AB+AC=2R(sinB+sinC)=2(sinB+sin(-B))

即得：AB+AC=2(sinB+cosB)=6sin(B+)

∵0＜B＜得＜sin(B+)≤1

∴3＜AB+AC≤6，

∴△ABC周长的取值范围为（6，9]