热门试卷

（I）∵A=，且A+B+C=π

∴0＜B＜即0＜x＜

由正弦定理可得，=

∴AC=sinB=4sinx

y=AB•ACsinA=4sinxsin（-x）(0＜x＜)

（II）y=4sinxsin（-x）=4sinx(cosx+sinx)

=6sinxcosx+2sin2x

=3sin2x+2×

=2sin(2x-)+（-＜2x-＜）

当2x-=即x=时，y取得最大值3

∴B=π时，△ABC的面积最大为3

（1）=(2a-c，b)，=(cosC，cosB)，∵∥，∴（2a-c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=．

∵0＜B＜π，∴B=． …（6分）

（2）由已知得：S△ABC=acsinB=，B=，∴ac=4．

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．

∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…（12分）

（1）f（x）=sinx+cos（x+）

=sinx+cosxcos-sinxsin

=sinx+cosx

=sin（x+），

∵ω=1，∴T=2π，

∵x∈[0，]，∴x+∈[，]，

则f（x）的值域为[，1]；

（2）由（1）可知，f（A）=sin（A+）=，

∵0＜A＜π，∴＜A+＜，

∴A+=，即A=，

∵a=b，且=，

∴=，即sinB=1，

∵0＜B＜π，

∴B=．

（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，

∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，

∴2sinAcosB=sinA．（3分）

又在△ABC中，A，B∈（0，π），

所以sinA＞0，cosB=，则B=（6分）

（2）∵•=6sinA+cos2A=-2sin2A+6sinA+1，

∴•=-2(sinA-)2+．（8分）

又B=，所以A∈(0，)，所以sinA∈（0，1]．（10分）

所以当sinA=1(A=)时，•的最大值为5．（12分）

（1）∵cosA=，

∴cos2+cos2A+=（1+cosA）+2cos2A-1+

=cosA+2cos2A=×+2×=；

（2）∵cosA=，且A为三角形的内角，

∴sinA==，又S=3，b=2，

∴S=bc•sinA=c=3，解得：c=5，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5×=13，

∴a=．

（1）sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，

∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=a，

∴cosB===；

（2）∵b2=ac，

∴cosB==≥=，

∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，

∴B∈（0，]，即角B的最大值为，

此时有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，

则△ABC为等边三角形．

∵bcosB+ccosC=acosA，

由正弦定理得：sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA，

即sin2B+sin2C=2sinAcosA，

∴2sin（B+C）cos（B-C）=2sinAcosA．

∵A+B+C=π，

∴sin（B+C）=sinA．

而sinA≠0，

∴cos（B-C）=cosA，即cos（B-C）+cos（B+C）=0，

∴2cosBcosC=0．

∵0＜B＜π，0＜C＜π，

∴B=90° 或C=90°，即△ABC是直角三角形．

（1）∵acosB+bcosA=2c•cosC，

∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，

整理得：sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，即cosC=，

∵C为三角形的内角，

∴C=60°；

（2）∵A+B+C=180°，C=60°，

∴B=120°-A，

∴sinB+sinA=sin（120°-A）+sinA=cosA+sinA=，

即sin（A+30°）=，

∴sin（A+30°）=1，

∴A=60°，B=C=120°-A=60°，

则△ABC为等边三角形．

（1）∵A、B为锐角，sinB=，

∴cosB==．

又cos2A=1-2sin2A=，

∴sinA=，cosA==．

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=×-×=．

∵0＜A+B＜π，∴A+B=．

（2）由（1）知C=，∴sinC=．

由正弦定理==得

a=b=c，即a=b，c=b．

∵a-b=-1，∴b-b=-1，∴b=1．

∴a=，c=．

由正弦定理得=，∴=，解得sinC=，

∵0°＜C＜180°，∴C=60°或120°，

当C=60°时，A=90°；

当C=120°时，A=30°，

∴△ABC 是直角三角形或顶角是 120°等腰三角形．

（I）∵cos2B-cos2A=2sin（+B）sin（-B），

且cos2B-cos2A=2cos2B-1-cos2A，

2sin（+B）sin（-B）=2（cosB+sinB）（cosB-sinB）

=2（cos2B-sin2B）=cos2B-sin2B，

∴2cos2B-1-cos2A=cos2B-sin2B，

整理得cos2A=（cos2B+sin2B）-1=-，

∵A为锐角，∴2A∈（0，π），

∴2A=，

∴A=；

（II）∵a=2，b=3，sinA=，

∴由正弦定理=得：sinB===，

∵a＜b，∴A＜B，

∴角B为锐角或钝角，

则满足条件的△ABC有两个．

（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴f(x)=sinxcosx+cox-=sin2x+cos2x=sin（2x+）

∵f（B）=1，即sin（2B+）=1

∴2B+=+2kπ（k∈Z），可得B=+kπ（k∈Z）

∵B∈（0，π），∴取k=0，得B=；

（II）根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得

12=（）2+c2-2ccos，

化简整理得c2-3c+2=0，解之得c=1或2．

即当a=，b=1时，边c的值等于c=1或2．

（1）∵cos2A=2cos2A-1=，且A为锐角

∴cosA=，sinA==

∵sinC=，且C为锐角

∴cosC==

因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=•-•=

（2）∵cos（A+C）=，0＜A+C＜π，∴A+C=，得B=π-=，sinB=

∵sinA=，sinB=，sinC=，

∴sinA：sinB：sinC=2：5：

由正弦定理，得a：b：c=2：5：，设a=2x，得b=5x，c=x

∵a-c=-1，得2x-x=-1

∴x=，可得a=，b=，c=1

（3）由（2）知A+C=，得tan（α+）=2

∴=2，解之得tanα=

所以===

（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=．

于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0．

因为-π＜B-C＜π，从而B-C=0．所以B=C；

（Ⅱ）由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B，

故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA=．

又0＜2B＜π，于是sin2B==．

从而sin4B=2sin2Bcos2B=，

cos4B=cos22B-sin22B=-．

所以sin(4B+)=sin4Bcos+cos4Bsin=．