解三角形_章节学习

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题型：简答题

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简答题

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C．

正确答案

由B=π-（A+C）可得cosB=-cos（A+C）

∴cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=1

∴sinAsinC=①

由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②

①②联立可得，sin2C=

∵0＜C＜π

∴sinC=

a=2c即a＞c

C=

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b-2，a-2）．

（1）若∥，试判断△ABC的形状并证明；

（2）若⊥，边长c=2，∠C=，求△ABC的面积．

正确答案

（1）ABC为等腰三角形；

证明：∵=（a，b），=（sinB，sinA），∥，

∴asinA=bsinB，

即a•=b•，其中R是△ABC外接圆半径，

∴a=b--------（5分）

∴△ABC为等腰三角形--------（6分）

（2）∵=（b-2，a-2），由题意可知⊥，

∴a（b-2）+b（a-2）=0，

∴a+b=ab--------（8分）

由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab

即（ab）2-3ab-4=0，

∴ab=4或ab=-1（舍去）---------（10分）

∴S=absinC=×4×sin=．----------（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x-，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量=(1，sinA)与=(2，sinB)共线，求a，b的值．

正确答案

（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx-cos2x-=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，

∴f（x）的最小值为-2，最小正周期为π．…（5分）

（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C-）-1=0，即 sin（2C-）=1，

又∵0＜C＜π，-＜2C-＜，∴2C-=，∴C=． …（7分）

∵向量=(1，sinA)与=(2，sinB)共线，∴sinB-2sinA=0．

由正弦定理 =，得 b=2a，①…（9分）

∵c=3，由余弦定理得9=a2 +b2-2abcos，②…（11分）

解方程组①②，得 a= b=2． …（13分）

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=，则B的大小为______．

正确答案

∵在△ABC，=，由正弦定理===2R得，=，

∴sinBcosC=sinAcosB-sinCcosB，

∴sin（B+C）=sinAcosB，又在△ABC，B+C=π-A，

∴sin（B+C）=sinA≠0，

∴cosB=，又B∈（0，π），

∴B=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的周长为6，且cos=sinC．

（1）求角C；

（2）求△ABC面积的最大值．

正确答案

（1）cos=cos=sin=2sincos…（2分）

因为0＜C＜π，所以sin≠0，则cos=…（3分）

所以=，即C=…（5分）

（2）c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，…（6分）

又c=6-a-b，则a2+b2-ab=（6-a-b）2=36+a2+b2-12a-12b+2ab（7分）

整理可得，4（a+b）=12+ab…（8分）

12+ab=4(a+b)≥4×2=8

所以ab-8+12≥0…（9分）

则≤2或≥6，…（10分）

若≥6，则ab≥36，那么4（a+b）=12+ab≥48，即a+b≥12，这与周长为6相矛盾，应舍去，

因此，≤2，则ab≤4…（12分）

所以S△ABC=absinC=ab≤…（14分）

当且仅当a=b=c=2时等号成立，

所以，△ABC的面积有最小值为…（15分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．

（1）求证：B≤；

（2）若B=，且A为钝角，求A．

正确答案

（1）由余弦定理，得cosB==． …（3分）

因a2+c2≥2ac，∴cosB≥．…（6分）

由0＜B＜π，得 B≤，命题得证． …（7分）

（2）正弦由定理得sin2A+sin2C=2sin2B． …（10分）

因B=，故2sin2B=1，于是sin2A=cos2C．…（12分）

因为A为钝角，所以sinA=cosC=cos(π-A)=sin(A-)．

所以A+(A-)=π（或A=A-，不合，舍），

解得A=． …（14分）

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题型：简答题

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简答题

锐角三角形ABC满足a=2bsinA．

（1）求B的大小；

（2）求cosA+sinC的取值范围．

正确答案

（1）因为a=2bsinA，由正弦定理可得sinA=2sinAsinB，

因为三角形是锐角三角形，所以sinB=，故B=

（2）由（1）可知，A+C=，∴cosA+sinC=cos(-C)+sinC=sin(C-)

因为三角形是锐角三角形，故C∈(，)，

∴cosA+sinC∈(，)．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=(sinx-cosx， 1)，=(cosx， )，若f(x)=•．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3， f(+)=（C为锐角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

正确答案

（1）f(x)=•=sinxcosx-cos2x+

=sin2x-+

=sin2x-cos2x

=sin(2x-)（4分）

∴f（x）的最小正周期为π．（6分）

（2）∵f(+)=sinC=， ∵0＜C＜，∴C=（8分）

∵2sinA=sinB．由正弦定理得b=2a，①（9分）

∵c=3，由余弦定理，得9=a2+b2-2abcos，②（10分）

解①②组成的方程组，得．　　　（12分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B-C）=4sinB•sinC-1．

（1）求A；

（2）若a=3，sin=，求b．

正确答案

（1）由2cos（B-C）=4sinBsinC-1 得，

2（cosBcosC+sinBsinC）-4sinBsinC=-1，即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1．

从而2cos（B+C）=-1，得cos（B+C）=-． …4分

∵0＜B+C＜π

∴B+C=，故A=． …6分

（2）由题意可得，0＜B＜π

∴0＜＜，

由sin=，得cos=，

∴sinB=2sincos=． …10分

由正弦定理可得=，∴=，

解得b=． …12分．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosB=，sin（-C）=．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面积．

正确答案

（Ⅰ）在△ABC中，因为cosB=，求得sinB=，由sin（-C）=cosC=，求得sinC=．

所以sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

=×+×=．

（Ⅱ）根据正弦定理得：=，

所以AC= •sinB=×=．

所以S△ABC=AB•ACsinA=×× ×=3+．

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题型：简答题

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简答题

△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量=(2cosB，sin2B-1)，=（2sin2（+），-1），⊥．

（I）求角B的大小；

（II）若b=，求△ABC的周长的最大值．

正确答案

（I）∵⊥，∴•=0，∴4cosB•sin2(+)+1-sin2B=0，…（2分）

∴2cosB[1-cos(+B)]+1-sin2B=0．

即2cosB+sin2B+1-sin2B=0，∴cosB=-，又B∈（0，π），∴B=． …（6分）

（II）由正弦定理可得：==，又由（I）可知=2，A+C=．

∴a=2sinA，C=2sinC=2sin(-A)．…（8分）

所以△ABC的周长为 2sinA+2sin(-A)+=2sinA+cosA-sinA+=sinA+cosA+=2sin(A+)+．…（10分）

又A∈(0，)，∴A=时，△ABC的周长有最大值为2+．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sin（x=）cos（x+）-2cos2（x+）+1．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求函数f（x）的单调递增区间．

正确答案

（I）∵f（x）=2sin（x+）cos（x+）-2cos2（x+）+1

=sin（2x+）-cos（2x+）…3分

=sin[（2x+）-]…5分

=sin（2x+）…7分

∴f（x）的最小正周期T=π…8分

（II）由（I）知f（x）=sin（2x+），

当-+2kπ≤2x+≤+2kπ…10分

即kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），函数f（x）=sin（2x+）是增函数，…12分

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）…13分

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题型：简答题

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简答题

已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），且⊥．

（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；

（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

正确答案

（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx-y=0，

即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx

=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z

（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），

故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1

故可得A+=，解得A=，

由余弦定理可得22=b2+c2-2bccosA，

化简可得4=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=16-3bc，

解得bc=4，故△ABC的面积S=bcsinA=×4×=

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题型：填空题

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填空题

已知△ABC中，AB=AC，则cosB+cosA的最大值为______．

正确答案

∵AB=AC∴B=C

cosB+cosA=cosB+cos（π-B-C）=cosB-cos2B

=-2cos2B+cosB+1=-2（cosB-）2+

∵0＜2B＜π∴0＜B＜∴0＜cosB＜1

∴当cosB=时，cosB+cosA有最大值

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

设a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(-x)满足f(-)=f(0)，

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且=，求f（x）在（0，B]上的值域．

正确答案

（Ⅰ）f（x）=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x．

由f(-)=f(0)得-•+=-1，解得a=2．

因此f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-)．

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z

得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

故函数f（x）=的单调递增区间[-+kπ，+kπ](k∈Z)（6分）

（Ⅱ）由余弦定理知：===

即2acosB-ccosB=bcosC，

又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA

即cosB=，所以B=

当x∈(0，]时，2x-∈(-，]，f（x）∈（-1，2]

故f（x）在（0，B]上的值域为（-1，2]（12分）

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