空间向量的数量积及坐标表示
共152题

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题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系0xyz中有两点A（2，5，1）和B（2，4，-1），则||=______．

正确答案

解析

解：∵点A（2，5，1）和B（2，4，-1），∴=（0，-1，-2）．

∴==．

故答案为．

题型：填空题

填空题

设=（x，4，3），=（3，-2，y），且∥，则xy=______．

正确答案

解析

解：∵∥，∴存在实数λ，使得，可得，解得．

∴xy==9

故答案为9．

题型：单选题

单选题

已知向量=（6，10，-12），=（-1，x，2），且⊥，则实数x的值为（　　）

B-

D-3

正确答案

解析

解：∵⊥，∴=-6+10x-24=0，

解得x=3．

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知空间向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），定义两个空间向量与之间的距离为d（，）=|bi-ai|．

（1）若=（1，2，3），=（4，1，1），=（，，0），证明：d（，）+d（，）=d（，）

（2）已知=（c1，c2，c3）

①证明：若∃λ＞0，使-=λ（-），则d（，）+d（，）=d（，）．

②若d（，）+d（，）=d（，），是否一定∃λ＞0，使-=λ（-）？请说明理由．

正确答案

证明：（1）∵，，，

∴，，，

∴．

（2）①∵∃λ＞0，使，

∴∃λ＞0，使得（b1-a1，b2-a2，b3-a3）=λ（c1-b1，c2-b2，c3-b3），

即∃λ＞0，使得bi-ai=λ（ci-bi），其中i=1，2，3，

∴bi-ai与ci-bi（i=1，2，3）同为非负数或同为负数．

∴，

即．

②不一定∃λ＞0，使得．

反例如下：取，，，

，，，则

∵，，

∴不存在λ＞0，使得．

解析

证明：（1）∵，，，

∴，，，

∴．

（2）①∵∃λ＞0，使，

∴∃λ＞0，使得（b1-a1，b2-a2，b3-a3）=λ（c1-b1，c2-b2，c3-b3），

即∃λ＞0，使得bi-ai=λ（ci-bi），其中i=1，2，3，

∴bi-ai与ci-bi（i=1，2，3）同为非负数或同为负数．

∴，

即．

②不一定∃λ＞0，使得．

反例如下：取，，，

，，，则

∵，，

∴不存在λ＞0，使得．

题型：填空题

填空题

平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量；与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点的轨迹方程的方法，可以求出过点A（2，1）且法向量为（点法式）方程为-（x-2）+2（y-1）=0，化简后得x-2y=0．类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A（2，1，3），且法向量为的平面（点法式）方程为______（请写出化简后的结果）．

正确答案

x-2y-z+3=0

解析

解：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则 =（x-2，y-1，z-3），

∵平面法向量为，

∴-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，化简可得 x-2y-z+3=0，

故答案为 x-2y-z+3=0．

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