空间向量的数量积及坐标表示
共152题

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题型：单选题

单选题

如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（　　）

A2•

B2•

C2•

D2•

正确答案

解析

解：由题意可得，2=2a•a•cos（π-∠BAD）=2a2•（-cos60°）=-a2，故排除A．

∵2•=2•a•a•cos60°=a2，故B满足条件．

∵2•=2••a•cosπ=-a2，故排除C．

∵2•=2••a•cos60°=，故排除D，

故选：B．

题型：简答题

简答题

某几何体如图所示，底面ABCD是边长为2的正方形，ACFE是平行四边形，AE=2，∠EAB=∠EAD=60°．

（1）求•的值；

（2）求||．

正确答案

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

过点E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N，连接EM，EN．

则AB⊥EM，AD⊥EN．

在Rt△AEM中，AE=2，∠EAM=60°，则AM=1，同理AN=1．

在Rt△AOM中，∠OAM=45°，∴OM=1，OA=．

∴在Rt△AEO中，∠EAO=45°．

∴E，F，C（2，2，0）．

∴=（1，1，），=．

∵•==8；

（2）由（1）可得：=．

∴==2．

解析

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

过点E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N，连接EM，EN．

则AB⊥EM，AD⊥EN．

在Rt△AEM中，AE=2，∠EAM=60°，则AM=1，同理AN=1．

在Rt△AOM中，∠OAM=45°，∴OM=1，OA=．

∴在Rt△AEO中，∠EAO=45°．

∴E，F，C（2，2，0）．

∴=（1，1，），=．

∵•==8；

（2）由（1）可得：=．

∴==2．

题型：填空题

填空题

已知平面α的一个法向量是=（1，1，-1），且平面α经过点A（1，2，0）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是______．

正确答案

x+y-z-3=0

解析

解：由题意可知=（x-1，y-2，z）；

平面α的一个法向量是=（1，1，-1），所以，

即：（x-1，y-2，z）（1，1，-1）=0；

x-1+y-2-z=0，即x+y-z-3=0，

所求点P的坐标满足的方程是x+y-z-3=0．

故答案为：x+y-z-3=0．

题型：单选题

单选题

下列给出的命题中：

①如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组x，y，z使=x+y+z．

②已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）．则与向量和都垂直的单位向量只有=（，，-）．

③已知向量，，可以构成空间向量的一个基底，则向量可以与向量-和向量-构成不共面的三个向量．

④已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，则MN与OB所成的角为．

是真命题的序号为（　　）

A①②④

B②③④

C①②③

D①④

正确答案

解析

解：①如果三个向量，，不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组x，y，z使=x+y+z．

②已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）．则与向量和都垂直的单位向量只有=±（，，-），因此不正确．

③已知向量，，可以构成空间向量的一个基底，向量-和向量-共线，则向量可以与向量-和向量-不能构成不共面的三个向量．

④已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，如图所示，

不妨设AB=2．取AB的中点为P，连接MP，PN．

可得PM=PN=1，MN==，∴∠PMN=．则MN与OB所成的角为．

综上可得：真命题的序号为①④．

故选：D．

题型：填空题

填空题

已知点A（-27，45，-18），=（-9，9，9）．在y0z面上找一点B，使得∥，则点B的坐标为______．

正确答案

（0，18，-45）

解析

解：设B（0，y，z），

=（27，y-45，z+18），

∵∥，

∴存在实数λ使得，

∴，解得y=18，z=-45．

∴B（0，18，-45）．

故答案为：（0，18，-45）．

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