空间向量的数量积及坐标表示
共152题

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题型：简答题

简答题

已知=（1，-2，-2），=（1，4，1）．

（1）求与的夹角；

（2）若+与-2+平行，求实数λ的值；

（3）若+与-2+垂直，求实数λ的值．

正确答案

解：（1）=1-8-2=-9，==3，==3，

∴===-，

∴=135°．

（2）+=（1，-2，-2）+λ（1，4，1）=（1+λ，-2+4λ，-2+λ）．

-2+=-2（1，-2，-2）+（1，4，1）=（-1，8，5）．

∵+与-2+平行，

∴存在实数k使得+=k（-2+），

∴，解得，∴．

（3）∵+与-2+垂直，

∴（+）•（-2+）=-（1+λ）+8（-2+4λ）+5（-2+λ）=0，

解得λ=．

解析

解：（1）=1-8-2=-9，==3，==3，

∴===-，

∴=135°．

（2）+=（1，-2，-2）+λ（1，4，1）=（1+λ，-2+4λ，-2+λ）．

-2+=-2（1，-2，-2）+（1，4，1）=（-1，8，5）．

∵+与-2+平行，

∴存在实数k使得+=k（-2+），

∴，解得，∴．

（3）∵+与-2+垂直，

∴（+）•（-2+）=-（1+λ）+8（-2+4λ）+5（-2+λ）=0，

解得λ=．

题型：填空题

填空题

已知向量a=（-2，3，2），b=（1，-5，-1），则ma+b与2a-3b相互垂直的充要条件为______．

正确答案

解析

解：∵（ma+b）（2a-3b）=0

∴2ma2-3mb+2ab-3b=0

又∵a2=17，b2=27，ab=-19

∴代入可得

∴ma+b与2a-3b相互垂直的充要条件为．

题型：单选题

单选题

若向量=（1，λ，1），=（2，-1，1）且与的夹角的余弦值为，则λ等于（　　）

B-2

C-2或

D2或

正确答案

解析

解：∵向量=（1，λ，1），=（2，-1，1），

且与的夹角的余弦值为，

∴•=||×||cos＜，＞

=××

=×；

又•=1×2+λ×（-1）+1×1=3-λ，

∴=3-λ；

两边平方得=（3-λ）2，

整理得5λ2-36λ+52=0，

解得λ=2，λ=．

故选：D．

题型：单选题

单选题

已知，，且=2，则x的值为（　　）

正确答案

解析

解：∵，，

∴=-3+2x-5=2，

解得x=5

故选C

题型：简答题

简答题

设向量=（3，5，-4），=（2，1，8）．

（1）求2+3，3-2，•；

（2）若λ1+λ2与z轴垂直，求λ1、λ2满足的关系式．

正确答案

解：由已知（1）2+3=2（3，5，-4）+3（2，1，8）=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）．

3-2=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）．

•=（3，5，-4）•（2，1，8）=6+5-32=-21．

（2）因为λ1+λ2与z轴垂直，即与向量（0，0，1）垂直，

所以（λ1+λ2）•（0，0，1）=0，

所以-4λ1+8λ2=0

即λ1=2λ2．

解析

解：由已知（1）2+3=2（3，5，-4）+3（2，1，8）=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）．

3-2=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）．

•=（3，5，-4）•（2，1，8）=6+5-32=-21．

（2）因为λ1+λ2与z轴垂直，即与向量（0，0，1）垂直，

所以（λ1+λ2）•（0，0，1）=0，

所以-4λ1+8λ2=0

即λ1=2λ2．

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