热门试卷

解：（1）证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示；

四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，

∴四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，且OA=OC；

即⊥，•=0；

又PB=PD=a，

∴PO⊥BD，

即⊥，•=0，；

∴•（+）=0，

即•=0，

∴⊥=0，即BD⊥PC；

（2）根据题意，四棱锥P-ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB=a，

∴顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O，

在Rt△POC中，PC=a，OC=a，

∴OP=OC=a，

∴∠ACP=＜，＞=＜，＞=，

∴=+2•+=+2×a×a×cos+a2=5a2；

∴|+|=a．

解：①∵=（1，0，-1），=（-1，1，2），

∴-=（2，-1，-3），

∴（-）•=2×1+（-1）×0+（-3）×（-1）=5；

|-|==，||==，

∴-与夹角的余弦值为

cos＜-，＞===；

②∵k+=（k，0，-k）+（-1，1，2）=（k-1，1，2-k），

-2=（1，0，-1）-（-2，2，4）=（3，-2，-5），

且两向量平行，

∴=-=，

解得k=-；

③∵k+=（k-1，1，2-k），

+3=（1，0，-1）+（-3，3，6）=（-2，3，5），

且两向量垂直，

∴（k+b）•（+3）=-2（k-1）+3×1+5（2-k）=0，

解得k=．

故答案为：①，②-，③．