曲线的参数方程
共752题

曲线的参数方程
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题型：简答题

简答题

已知直线C1的方程为（t为参数，α∈[0，π）且α为常数），曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，当曲线C1被曲线C2截得的线段长为且0＜α＜时，求常数α的值．

正确答案

解：由曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，化为ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ，

∴x2+y2=6x+8y，∴（x-3）2+（y-4）2=25，可得圆心C2（3，4），半径r=5．

由直线C1的方程为消去参数t可得xtanα-y+16-8tanα=0．

∴圆心C2（3，4）到直线C1的距离d==，

∵，

∴=，

化为tan2α-240tanα+239=0，

解得tanα=1或tanα=239．

∵α∈[0，π）且0＜α＜时，

∴α=．

解析

解：由曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，化为ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ，

∴x2+y2=6x+8y，∴（x-3）2+（y-4）2=25，可得圆心C2（3，4），半径r=5．

由直线C1的方程为消去参数t可得xtanα-y+16-8tanα=0．

∴圆心C2（3，4）到直线C1的距离d==，

∵，

∴=，

化为tan2α-240tanα+239=0，

解得tanα=1或tanα=239．

∵α∈[0，π）且0＜α＜时，

∴α=．

题型：单选题

单选题

把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（　　）

A12x2+4y2=1

B4x2=1

Cx2+=1

D3x2+4y2=4

正确答案

解析

解：根据题意，曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2：

（θ为参数），

消去参数，化为直角坐标方程是

4x2+=1．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知圆C的参数方程为（α为参数）．

（1）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（2）已知A（0，-2）、B（2，0），M为圆C上任意一点，求△ABM面积的最大值．

正确答案

解：（1）根据圆C的参数方程为（α为参数）得

（x-2）2+（y-2）2=1，

∴该圆的普通方程为：（x-2）2+（y-2）2=1，

∴x2+y2-4x-4y+15=0，

∴ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

∴圆C的极坐标方程：ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

（2）∵A（0，-2）、B（2，0），

∴直线AB的方程为：，

∴x-y-2=0，

圆心到直线的距离d==＞1，

∴直线AB与圆相离，

∵|AB|=，

∴S△ABM=|AB|×d（d为点M到直线的距离），

当d取+1时，此时所求面积最大，

最大面积为2+．

解析

解：（1）根据圆C的参数方程为（α为参数）得

（x-2）2+（y-2）2=1，

∴该圆的普通方程为：（x-2）2+（y-2）2=1，

∴x2+y2-4x-4y+15=0，

∴ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

∴圆C的极坐标方程：ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+15=0，

（2）∵A（0，-2）、B（2，0），

∴直线AB的方程为：，

∴x-y-2=0，

圆心到直线的距离d==＞1，

∴直线AB与圆相离，

∵|AB|=，

∴S△ABM=|AB|×d（d为点M到直线的距离），

当d取+1时，此时所求面积最大，

最大面积为2+．

题型：单选题

单选题

双曲线C：（φ为参数）的一个焦点为（　　）

A（3，0）

B（4，0）

C（5，0）

D（0，5）

正确答案

解析

解：双曲线C：（φ为参数），

∵sec2φ-tan2φ=1．

∴=1，

∴c==5．

∴此双曲线的一个焦点为（5，0）．

故选：C．

题型：填空题

填空题

直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为______．

正确答案

解析

解：∵直线l的参数方程为（t为参数）

∴消去参数t得y-1=（x-1）

则直线l的斜率为，

故答案为：．

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