- 曲线的参数方程
- 共752题
已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
则由
整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0，
∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x-3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为，
即方程表示的曲线是以（-
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，
故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d=
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
解析
解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
则由
整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0，
∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x-3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为，
即方程表示的曲线是以（-
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，
故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d=
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
圆C的参数方程为
（1）求圆与直线的直角坐标方程；
（2）直线l与圆C交于A、B，与x轴交于P，求PA+PB的值．
正确答案
解：（1）由圆C的参数方程为
∴圆C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，
直线l的极坐标方程ρsin（θ-
∴直线l的直角坐标方程为x-y+2=0；
（2）由直线l的直角坐标方程为x-y+2=0，令y=0，可得x=-2，∴P（-2，0）．
设直线l的参数方程为
代入圆C的方程可得
化为
∴t1+t2=7
即PA+PB=7
解析
解：（1）由圆C的参数方程为
∴圆C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，
直线l的极坐标方程ρsin（θ-
∴直线l的直角坐标方程为x-y+2=0；
（2）由直线l的直角坐标方程为x-y+2=0，令y=0，可得x=-2，∴P（-2，0）．
设直线l的参数方程为
代入圆C的方程可得
化为
∴t1+t2=7
即PA+PB=7
已知曲线C1的参数方程为
正确答案
0
解析
解：曲线C1的参数方程
x+
曲线C2的极坐标方程ρ=2化为普通方程是
x2+y2=4；
∵圆心到直线的距离d=
∴直线与圆无交点，
即曲线C2与C1交点个数为0．
故答案为：0．
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4
正确答案
±
解析
解：圆C1的方程为ρ=4
圆心C1（2，2），半径r1=2
圆C2的参数方程
圆心距C1C2=3
两圆外切时，C1C2=r1+r2=2
∴a=±
故答案为：±
在直角坐标系中，圆C的参数方程为
正确答案
0
解析
解：①由圆C的参数方程为
∴圆心C（0，2），半径r=2．∴圆C的圆心的极坐标为
②由直线
∴圆心C（0，2）到直线的距离d=
∴直线被圆C所截得的弦长=0．
故答案为
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