由递推关系式求数列的通项公式
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知数列的前n项和为，数列的前n项和为．

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，证明：当且仅当时，。

正确答案

（1）∵

∴当时，

又当时，，适合上式

∴数列的通项公式为

又∵

∴当时，

∴

又当时，，解得

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列

∴数列的通项公式为

（2）∵

∴

∴当时，

∴当且仅当时，．

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知等差数列的首项=1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列的第2项、第3项、第4项。

（I）求数列与的通项公式；

（II）设数列｛｝对n均有++…+=成立，求++…+。

正确答案

（I）由已知得=1+d， =1+4d， =1+13d，

=（1+d）（1+13d），

d=2， =2n-1

又==3，= =9

数列{}的公比为3，

=3=．

（II）由++…+= （1）

当n=1时，==3， =3

当n>1时，++…+= （2）

（1）-（2）得 =-=2

=2=2 对不适用

…=3+23+2+…+2

=1+21+23+2+…+2=1+2=

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等差数列与等比数列的综合

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．数列中，若，，则的通项公式＝（）．

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：单选题

单选题 · 5 分

16．在数列中，，，则（）

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为，

（1）试用，表示，；

（2）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；

（3）求出数列｛｝，｛｝的通项公式．

正确答案

（1）

（2）两式相减

所以等比

两式相加

＝……．＝所以常数列；

（3）

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等比数列的性质及应用

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