平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

已知||=3，=(2，3)

（1）若⊥，求；（2）若∥，求．

正确答案

（1）设=(x，y)，∵||=3，∴x2+y2=9…①

又∵⊥∴•=0即2x+y=0…②…（3分）

由①②可解得：或

∴=(，-)或(-，)…（6分）

（2）设=(x，y)（3），∵||=3，∴x2+y2=9（4）…（5）①

又∵∥∴x=2y…②…（9分）

由①②可解得：或

∴=(，)或(-，-)…（12分）

题型：简答题

简答题

已知=（1，1），=（x，1），=+2，v=2-．

（1）若=3，求x；

（2）若∥，并说明此时两向量方向相同还是相反．

正确答案

∵=（1，1），=（x，1），

∴=+2=（1，1）+（2x，2）=（2x+1，3），

=2-=（2，2）-（x，1）=（2-x，1）．

（1）∵=3，

∴（2x+1，3）=3（2-x，1），

解得x=1．

（2）∵∥，

∴2x+1=3 （2-x），∴x=1．

此时，=（3，3），=（1，1），

∵=3，

∴n与v方向相同．

题型：填空题

填空题

已知=(1，0)，=(1，1)，若向量λ+与向量=(6，2)共线，则实数λ=______．

正确答案

∵=(1，0)，=(1，1)

∴λ+=（λ+1，1）

∵向量λ+与向量=(6，2)共线，

∴2（λ+1）-6=0

∴λ=2

故答案为：2

题型：填空题

填空题

已知=（-2，5），||=||，且与互相垂直，则的坐标是______．

正确答案

∵已知=（-2，5），||=||，且与互相垂直，设的坐标是（x，y），

则有-2x+5y=0，且x2+y2=4+25=29．

解得，或，故的坐标是（5，2）（-5，-2），

故答案为（5，2）、（-5，-2）．

题型：填空题

填空题

已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，则的坐标是：______．

正确答案

∵A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），

∴=（-6，-3），

由D在AC上，存在实数λ使 =λ=（-6λ，-3λ），

∴D（-6λ+3，-3λ+2）

因此，=（-6λ+1，-3λ+3），

∵AD⊥BC，

∴•=（-6λ+1）×（-6）+（-3λ+3）×（-3）=0，解之得λ=

所以D（1，1），可得=（-1，2）

故答案为：（-1，2）．

题型：简答题

简答题

已知A（0，-1），B（-5，1），D（7，2），且∥，⊥，求点C的坐标．

正确答案

设点C 的坐标是（x，y），

则=(-5，2)，=(x+5，y-1)，=(x-7，y-2)…（2分）

由∥⇒2（x-7）=-5（y-2）⊥⇒-5（x+5）+2（y-1）=0…（2分）

⇒x=-3，y=6，

所以C（-3，6）…（2分）

题型：简答题

简答题

已知向量=（sinθ，cosθ-2sinθ），=（1，2）．

（1）若∥，求tanθ的值；

（2）若||=||，0＜θ＜π，求θ的值．

正确答案

（1）∵a∥b

∴2sinθ=cosθ-2sinθ即4sinθ=cosθ

∴tanθ=

（2）由|a|=|b|

∴sin2θ+（cosθ-2sinθ）2=5

即1-2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=-1

故有sin（2θ+）=-

又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）

∴2θ+=π或2θ+=π

∴θ=或θ=π

题型：填空题

填空题

设直线l1：ax+2y=0的方向向量是，直线l2：x+（a+1）y+4=0的法向量是，若与平行，则a=______．

正确答案

由直线l1：ax+2y=0可得方向向量=（-2，a）；

由直线l2：x+（a+1）y+4=0可得方向向量为（a+1，-1），其法向量=（1，a+1）；

∵与平行，∴-2（a+1）-a=0，解得a=-．

故答案为-．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，AD为BC边上的高．已知cosC=，且=+，则 =______．

正确答案

由题意可得=+=(-)-=-，

而由AD为BC边上的高可得•=0，即(-)•=0，

所以

2-•=0，故a2-ab×=0，

解得=．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．

正确答案

∵=（1，2），=（-3，2），

∵k+=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3 =（10，-4）

∵（k+）∥（-3），

∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，

∴k=-，

故答案为：-

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