平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ(λ ， μ∈R)，则=______．

正确答案

以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系

可得=（-1，1），=（6，2），=（-1，-3）

∵=λ+μ(λ ， μ∈R)

∴，解之得λ=-2且μ=-

因此，==4

故答案为：4

题型：填空题

填空题

在△ABC中，已知 =(2k+3，3k+1)，=(3，k)（k∈R），则=______；若∠B=90°，则k=______．

正确答案

在△ABC中，∵=(2k+3，3k+1)，=(3，k)（k∈R），

=（3，k）-（2k+3，3k+1）

=（-2k，-2k-1）．

∵∠B=90°，

∴•=（2k+3，3k+1）•（-2k，-2k-1）

=-2k•（2k+3）+（-2k-1）•（3k+1）

=-10k2-11k-1=0，

解得k=-1或k=-．

故答案为：（-2k，-2k-1）；-1或-．

题型：填空题

填空题

已知=(-2，1)，=(x+1，-1)，若∥，则x=______．

正确答案

根据两个向量共线的性质可得（-2）•（-1）-（x+1）•1=0，解得x=1，

故答案为 1．

题型：填空题

填空题

已知点A（-1，-5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为______．

正确答案

由题意知，=3=（6，9），

又因点A的坐标是（-1，-5），

则点B的坐标为（6-1，9-5）=（5，4）．

故答案为：（5，4）．

题型：填空题

填空题

已知=（-1，-1），=（2，1），则2-=______．

正确答案

由题意得，2-=2（-b，-b）-（2，b）=（-4，-3），

故答案为：（-4，-3）．

题型：填空题

填空题

设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为______．

正确答案

由题意结合向量的运算可得=+

=+=+(+)

=-+=-+，

又由题意可知若=λ1+λ2，

故可得λ1=-，λ2=，所以λ1+λ2=

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知A（2，3），B（5，4），C（7，10），若=+λ，点P在第四象限，则λ的取值范围是______．

正确答案

∵A（2，3），B（5，4）

∴=（5-2，4-3）=（3，1），同理可得=（5，7）

设P（x，y），则=（x-2，y-3）

∵=+λ

∴，即，可得P（5+5λ，4+7λ）

∵点P在第四象限，

∴5+5λ＞0且4+7λ＜0，解之得-1＜λ＜-

故答案为：(-1，-)

题型：简答题

简答题

已知=(x，1)，=(x-2，1)，=(2，m)

（1）若∥，⊥求实数x，m的值；

（2）当x∈[-1，1]时，•=•恒成立，试确定实数m的范围．

正确答案

（1）由∥得 mx-2=0

由⊥得 2（x-2）+m=0

解得 x=1，m=2

（2）∵•=x2-2x+1，•=2x+m

∴由题意得 x2-2x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即m＜x2-4x+1在[-1，1]上恒成立．

设g（x）=x2-4x+1，其图象的对称轴为直线x=2，

所以g（x）在[-1，1]上递减，g（x）min=g（1）=-2

故只需m＜g（x）min，即m＜-2．

题型：简答题

简答题

已知=(1，2)，=(-3，2)，

（1）求-2的坐标；

（2）当k为何值时？k+与-2共线．

（3）设向量与的夹角为θ，求sin2θ的值．

正确答案

（1）-2=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2）…4分

（2）k+=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），

-2=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2）…6分

∵k+与-2共线，

∴7（2k+2）=-2（k-3）…7分

∴k=-…8分

（3）∵•=1，||=，||=…9分

∴cosθ===…10分

∴sinθ==…11分

∴sin2θ=2sinθcosθ=…12分

题型：填空题

填空题

已知A（，0），B（0，1），坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则•=______．

正确答案

∵坐标原点O在直线AB上的射影点为C

∴直线OC⊥AB

由A（，0），B（0，1）可得，直线AB的斜率kAB=-，AB的方程为y-1=-（x-）…①

∴kAC=

∴OC直线方程为：y=x…②

由①②和

∴x=，y=

∴=（，）

∴•=

故答案为：

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