平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

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题型：填空题

填空题

已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .

正确答案

试题分析：若三点共线，则,反之也成立.由得三点共线且. 等于

题型：填空题

填空题

设向量，若，则实数的值为 .

正确答案

试题分析：根据向量平行的坐标表示，由得，，解得.

题型：填空题

填空题

已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则实数ｋ的值为　　　　　；

正确答案

;

试题分析：因为＝+３，＝２－，所以=+=－（+３）+（２－）=－4；又因为Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，所以存在实数，使=，即２+ｋ=（－4），故=2，k=－8.

点评：中档题，若Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则存在实数，使=，这是证明三点共线的常用方法。本题对计算能力要求较高。

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）设平面向量="(m,1)," =(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}.

（Ⅰ）请列出有序数组(m,n)的所有可能结果；

（Ⅱ）若“使得⊥(－)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率。

正确答案

（Ⅰ）所有可能结果为

（Ⅱ）因为，所以，所以事件包含的结果有

共2种，所以

(1)根据m分成4类，然后逐一列出即可.

(2)要通过向量垂直的坐标运算，判断一下满足条件的结果有哪些，然后根据古典概型概率计算公式求解。

题型：填空题

填空题

已知正方形ABCD的边长为1,则=_______.

正确答案

试题分析：.因为正方形ABCD的边长为1，所以，. 与夹角为.所以.代入得.

题型：填空题

填空题

是两个不共线的向量，已知，,,且三点共线，则实数= ．

正确答案

-8

试题分析：根据题意，由于是两个不共线的向量，已知，,,，那么可知：∵A，B，D三点共线，∴ ,则可知，,那么可知利用向量相等可知系数对应相等，得到故答案为-8.

点评：本题主要考查了三点共线，以及平面向量数量积的性质及其运算律，属于基础题．

题型：简答题

简答题

直线分别交平行四边形的边和于点和，设是直线与对角线的交点．设

（1）若，，试用表示；

（2）求证：

正确答案

（1）（2）见解析

将用三角形法则表示成,进而把表示成；

由（1），且，根据向量相等定义，

消参得

（1）解：设 … 1分

则

即 … 3分

又 …… 4分

…… 5分

（2）证明：设 ……… 6分

则 ……… 8分

又 ……… 9分

题型：简答题

简答题

已知向量，．

（1）若，求实数的值；

（2）若△为直角三角形，求实数的值．

正确答案

（1）；（2）实数的值为或.

试题分析：（1）由两向量平行时，坐标可得关于m的方程,解得m；（2）直角三角形中两直角边平行，由两向量垂直时，坐标之间的关系可得关于m的方程，解得m，题目中并没指出直角，所以要对直角边进行讨论方可.

解：（1）因为向量，

所以,

因为，且，

所以,

所以． 4分

（2）由（1）可知，，，

因为△为直角三角形，所以，或,

当时，有，解得；

当时，有，解得．

所以实数的值为或． 9分

题型：填空题

填空题

如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于

正确答案

试题分析：如图建立直角坐标系．三角形CDB中的点x,y满足不等式组．又因为．所以．将代入可得．由图可知，目标函数过点时在轴上的截距最大，即的最大值为．

题型：填空题

填空题

在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.

正确答案

如图所示，

由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.

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