平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

在面积为的正中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是___________。

正确答案

试题分析：∵是的中点，∴到的距离为点到的距离的，

∴，又,所以，

由向量夹角公式，有：，

∴，

由余弦定理，有：,

显然，都是正数，所以，

所以.

∴

令，则：

在中，显然有都是正数，所以，

所以的最小值是.

点评：要解决此类问题，需要牢固掌握多个知识点的内容并灵活应用，要有较强的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.

题型：简答题

简答题

（9分）已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b .

正确答案

因为,所以可设,

然后根据建立关于的方程,求出值,从而求出向量.

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

如图,在中,设,,的中点为,的中点为,的中点恰为.

（Ⅰ）若,求和的值;

（Ⅱ）以,为邻边, 为对角线,作平行四边形,

求平行四边形和三角形的面积之比.

正确答案

（1）；

（2）

本试题主要是考查了平面向量的基本定理的运用。

（1）∵Q为AP中点，∴ P为CR中点，，，得到参数的值。

（2）因为

则可结合正弦面积公式得到结论。

（1）解：∵Q为AP中点，∴ P为CR中点，

∴

同理：

而 ∴

即

（2）

∴

题型：填空题

填空题

向量与共线且方向相同，则n=_ _　__ ．

正确答案

试题分析：根据题意，由于向量与共线且方向相同，那么可知，故可知答案为2.

点评：主要是考查了向量共线的运用，属于基础题。

题型：简答题

简答题

（10分）设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,="3(e1-e2)"

⑴求证: A、B、D三点共线. ⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.

正确答案

（1）1或－1;

(1)利用向量证明三点共线,先证明,再说明两个向量有一个公共点B即可.

(2)根据向量ke1+e2和e1+ke2共线,可知,然后再根据向量相等的条件建立k的方程,求出k值.

题型：填空题

填空题

若向量，且∥,则

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知向量,则与向量平行的一个单位向量是________．

正确答案

试题分析：设与向量平行的单位向量是（x,y）,则y=3x且，解得，∴与向量平行的一个单位向量是

点评：熟练掌握向量的坐标运算及单位向量的定义是解决此类问题的关键

题型：简答题

简答题

已知向量且与满足关系式：.

（1）用k表示；

（2）证明：与不垂直；

（3）当与的夹角为时，求k的值.

正确答案

解：（1）（2）证明：略（3）k=1

本试题主要是考查了向量的数量积公式的运用

（1）利用向量的模长相等，平方法得到数量积的求解。

（2）要证明不垂直，只要证明数量积不为零即可。

（3）利用向量的夹角，和数量积公式，可知参数k的值。

题型：填空题

填空题

如图，在中，，，则= ，= ；

正确答案

试题分析：根据题意，由于，那么说明点D是三等分点，那么可知，，利用向量的加法法则可知 ,因此知道，故答案填写。

点评：解决的关键是利用三点共线，以及基本定理来表示向量，属于基础题。

题型：简答题

简答题

已知向量=(sinA,cosA), =，，且A为锐角.

（1）求角A的大小；

（2）求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx，(xÎR) 最大值及取最大值时x的集合.

正确答案

(1) A= ；(2) f(x)有最大值，x=2kp+ 或x=2kp+ (kÎZ)

试题分析：(1)∵∴－sinA+cosA=0 3分

∴tanA=,A为锐角,∴A= 6分

(2)由(1)知cosA=

所以 8分

因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值 10分

且x=2kp+ 或x=2kp+ (kÎZ) 12分

点评：中档题，本题综合考查平面向量的平行，平面向量的坐标运算，三角函数的和差倍半公式，三角函数、二次函数的图象和性质。向量平行，等价于。利用向量的运算，得到三角函数式，运用三角公式进行化简，以便于利用其它知识解题，是这类题的显著特点。

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