平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

已知=（2，-1），=（m，4），若∥，则m=______

正确答案

∵=（2，-1），=（m，4），∥，

∴2×4+m=0，

∴m=-8，

故答案为：-8．

题型：填空题

填空题

在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用表示）.

正确答案

在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=

题型：简答题

简答题

平面向量=（3，4），=（2，x），=（2，y），已知∥，⊥，求，及与夹角．

正确答案

∵∥，∴3x-4×2=0，解得x=，∴=（2，）

∵⊥，∴3×2+4y=0，∴y=-，∴=（2，-）

故•=2×2+×(-)=0

所以与的夹角为：90°

题型：简答题

简答题

平面内给定三个向量=(3，2)，=(-1，2)，=(4，1)

（1）求|3+-2|的值；

（2）若(+k)⊥(2-)，求实数k的值．

正确答案

（1）由题意=(3，2)，=(-1，2)，=(4，1)

∴3+-2=(0，6)⇒|3+-2|=6

（2）由题意得，+k=(4k+3，k+2)，2-=(-5，2)

由(+k)⊥(2-)⇒-5(4k+3)+2(k+2)=0⇒k=-．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的顶点为A（7，8），B（3，5），C（4，3），若=2且=2，CM与BN交于点G，求向量．

正确答案

设M（x，y），N（m，n），G（s，t）则

=(x-7，y-8)， =(3-x，5-y)，=(m-4，n-3)， =(7-m，8-n)

∵=2且=2

∴（x-7，y-8）=2（3-x，5-y）且（m-4，n-3）=2（7-m，8-n）

∴且解得，

即M（(，6)N（6，）

=(s-3，t-5)，=(3，)

∵∥∴3（t-5）=①

=(s-4，t-3)，=(，3)

∵∥∴3(s-4)=②

解①②得即G（，)

∴=(-7，-8)=(-，)．

题型：简答题

简答题

已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++．

正确答案

由已知得：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），

∴++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）

=（-12，8）．

设++=λ1+λ2，

则（-12，8）=λ1（1，3）+λ2（2，4），

∴

解得

∴++=32-22．

题型：简答题

简答题

已知向量=(-3，2)，=(2，1)，=(3，-1)，t∈R．

（1）求+2-3的坐标表示；

（2）若-t与共线，求实数t．

正确答案

（1）由已知可知 +2-3=（-3，2）+2（2，1）-3（3，-1）=（-8，7）．…（5分）

（2）-t=（-2t-3，-t+2）不可能为．

因为 -t与共线，故存在唯一的实数λ，使得-t=λ．…（8分）

即有，故，…（11分）

故实数t=．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=（1，2），=（-2，1），k，t为正实数，=+(t2+1)，=-+，问是否存在实数k、t，使∥，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

∵=+(t2+1)

=（1，2）+（t2+1）（-2，1）=（-2t2-1，t2+3），

=-+

=-（1，2）+（-2，1）

=(--，-)

假设存在正实数k，t使∥，则

（-2t2-1）（-+）-（t2+3）（--）=0，

化简得+=0，即t3+t+k=0，

∵k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，

∴不存在这样的正实数k，t，使∥．

题型：简答题

简答题

设=(2，-1)，=(3，0)，=(m，3)．

（1）当m=8时，将用和表示；

（2）若A、B、C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．

正确答案

（1）当m=8时，=(8，3)．

设=λ+μ，则（8，3）=λ（2，-1）+μ（3，0）=（2λ+3μ，-λ），

即，解得，

所以=-3+；

（2）由=(2，-1)，=(3，0)，=(m，3)．

则=-=(3，0)-(2，-1)=(1，1)，

=-=(m，3)-(2，-1)=(m-2，4)，

若A、B、C三点能构成三角形，

则与不共线．由1×4-1×（m-2）=0得：m=6．

所以A、B、C三点能构成三角形的实数m应满足m≠6．

题型：简答题

简答题

已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．若=2+，=-2，

（1）求+2；（用，表示）；

（2）求||的值．

正确答案

解；（1）∵=2+，=-2，

∴+2=2++2（-2）=4-3，

（2）∵向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．

∴

2=(2

) 2=4×22+4×2×3cos120°+32=13，

∴||=

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