平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为 .

正确答案

．

试题分析：由已知根据向量数量积的定义可得，，，为了求，我们把已知条件两边分别乘，得，即

，所以．

题型：简答题

简答题

设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=+log2图象上任意两点，且=(+)，已知点M的横坐标为．

（1）求点M的纵坐标；

（2）若Sn=f()+f()+…+f()，其中n∈N*且n≥2，

①求Sn；

②已知，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．

正确答案

（1）依题意由=(+)知M为线段AB的中点．

又∵M的横坐标为，A（x1，y1），B（x2，y2）即=⇒x1+x2=1

∴y1+y2=1+log2(•)=1+log21=1⇒=

即M点的纵坐标为定值．

（2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，

又∵n≥2时Sn=f()+f()+…+f()

∴Sn=f()+f()+••+f()

两式想加得，2Sn=n-1

Sn=

②当n≥2时，an===4（-）

又n=1时，a1=也适合．

∴an=4（-）

∴Tn=+++=4(-+-++-)=4(-)=(n∈N*)

由≤λ(+1)恒成立(n∈N*)⇒λ≥

而=≤=（当且仅当n=2取等号）

∴λ≥，∴λ的最小正整数为1．

题型：简答题

简答题

向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1）：

（1）求满足=m+n的实数m，n；

（2）若（+k）∥（2-），求实数k．

正确答案

（1）由题意得，m+n=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n），

∵=m+n，∴（3，2）=（-m+4n，2m+n），

即，解得m=，n=，

（2）由题意得，+k=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），

2-=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2），

∵（+k）∥(2-)，

∴2（3+4k）+5（2+k）=0，解得k=-．

题型：简答题

简答题

已知=(1，2)，=(-3，2)，当k为何值时，

（1）k+与-3垂直？

（2）k+与-3平行？平行时它们是同向还是反向？

正确答案

k+=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)

-3=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）

（1）(k+)⊥(-3)，得(k+)•(-3)=10（k-3）-4（2k+2）=2k-38=0，k=19

（2）(k+)∥(-3)，得-4（k-3）=10（2k+2），k=-

此时k+=(-，)=-（10，-4），所以方向相反．

题型：填空题

填空题

如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．

正确答案

试题分析：解：建立平面直角坐标系如图所示，则

因为，所以

所以，

故答案应填.

题型：简答题

简答题

已知向量=(sinx，)，=(cosx，-1)

（1）当向量与向量共线时，求tanx的值；

（2）求函数f（x）=2（+）•的最大值，并求函数取得最大值时的x的值．

正确答案

（1）∵向量与向量共线共线，

∴cosx+sinx=0

∴tanx=-．

（2）∵+=(sinx+cosx，)，

∴f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1

=sin(2x+)，

∴函数f（x）的最大值为，

2x+=2kπ+（k∈Z）

得x=+

∴函数取得最大值时x=+(k∈ Z)．

题型：简答题

简答题

已知向量m=(2x-2，2-y)，n=(y+2，x+1)，且m∥n，=(x，y)（O为坐标原点）．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵向量=(2x-2，2-y)，=(y+2，x+1)，且∥

∴（2x-2）（x+1）-（2-y）(y+2)=0

化简可得，点M的轨迹C的方程为+=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m2+3）y2+4my-4=0

∴y1+y2=-，y1y2=-

假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为=+

∴P（x1+x2，y1+y2）

∴+=1

∴2+3+2+3+4x1x2+6y1y2=6

∵A，B在椭圆上，∴2+3=6，2+3，=6

∴2x1x2+3y1y2=-3

∵y1+y2=-，y1y2=-

∴m=±

当m=时，y1=-，y2=，∴x1=0，x2=

∴=(0，-)，=(，)

∴cos∠AOB==-

∴sin∠AOB=

∴平行四边形OAPB的面积为||||sin∠AOB=

当m=-时，同理可得平行四边形OAPB的面积为

故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．

题型：简答题

简答题

已知向量=（3，1），=（-1，2），⊥，∥．试求满足+=的的坐标．

正确答案

设=（x，y），则=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=-=（x+3，y+1）-（-1，2）=（x+4，y-1），

则

所以=（11，6）．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，己知点A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）．

（1）若D（m，2m），且与共线，求非零实数m的值；

（2）若(-t)⊥(t∈R)，求t的值．

正确答案

（1）因为A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1），D（m，2m），

所以=(3，5)，=(m+2，2m+1)，

又因为与共线，即∥，

所以3（2m+1）=5（m+2），

解得：m=7，

所以非零实数m的值为7．

（2）因为A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1），

所以-t=(3+2t，5+t)，=(-2，-1)，

又因为(-t)⊥(t∈R)，

所以-2（3+2t）-（5+t）=0，

解得t=-，

所以t的值为-．

题型：简答题

简答题

已知向量=(x，y)与=(y，2y-x)的对应关系用=f()表示．

（Ⅰ）设=(1，1)，=(1，0)，求向量f()及f()的坐标；

（Ⅱ）求使f()=(p，q)，（p，q为常数）的向量的坐标；

（Ⅲ）证明：对于任意向量，及常数m，n恒有f(m+n)=mf()+nf()成立．

正确答案

（I）由已知得f()=（1，1），f()=（0，-1）

（II）设=（x，y），则f()=(y，2y-x)=(p，q)，

∴y=p，x=2p-q，即=（2P-q，p）．

（III）设=(a1，a2)，=(b1，b2)，则m+n=(ma1+nb1，ma2+nb2)，

故　f(m+n)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m（a2，2a2-a1）+n（b2，2b2-b1），

∴f(m+n)=mf()+nf()

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