平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx-sinx，2cosx）．

（1）求证：向量与向量不可能平行；

（2）若f（x）=•，且x∈[-，]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

正确答案

（1）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，

∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0，2•+sin2x+=0，

即sin2x+cos2x=-3，

∴（sin2x+）=-3，与|（sin2x+）|≤矛盾，

故向量与向量不可能平行．

（2）∵f（x）=•=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx

=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=（cos2x+sin2x）=（sin2x+），

∵-≤x≤，

∴-≤2x+≤，

∴当2x+=，即x=时，f（x）有最大值；

当2x+=-，即x=-时，f（x）有最小值-1．

题型：简答题

简答题

已知向量=(x，y)与向量=(y，2y-x)的对应关系可用=f()表示．

（1）设=(1，1)，=(1，0)，求向量f()及f()的坐标；

（2）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有f(m+n)=mf()+nf()成立；

（3）求使f()=(3，5)成立的向量．

正确答案

（1）f（）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），

∴f()=(1，1)，f()=(0，-1)．

（2）设=(x1，y1)，=(x2，y2)，∴m+n=（mx1+nx2，my1+ny2 ），

∴f（m+n ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），

∴mf（）+nf（）=m（y1，2y1-x1 ）+n（y2，2y2-x2 ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），

∴对于任意向量、及常数m、n，f(m+n)=mf()+nf()成立．

（3）设 =（x，y），则 f（）=（y，2y-x），∴，

∴x=1，y=3，∴=(1，3)．

题型：填空题

填空题

已知a、b∈R，非零向量=(2a+1，a+b)与=(-2，0)平行，则a、b满足的条件是______．

正确答案

由题意可得：设=λ，（λ∈R）

所以，

所以b=-a且a≠-（a∈R）．

故答案为：b=-a且a≠-（a∈R）．

题型：填空题

填空题

平面内有3点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），且∥，则x的值是______．

正确答案

∵A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），

∴=（3，6），=（x-3，-4）

∵∥，

∴3（-4）-6（x-3）=0

∴x=1，

故答案为：1

题型：填空题

填空题

已知向量=(，1)，且单位向量与的夹角为30°，则的坐标为 ______．

正确答案

设：=(x，y)，据题意知

cos30°==①

x2+y2=1②

解①②组成的方程组得或

故答案为(1，0)或(，)

题型：填空题

填空题

若向量=（4，1），=（2，x-1），∥，则x=______．

正确答案

∵向量=（4，1），=（2，x-1），∥，

∴4×（x-1）-1•2=0

解得x=

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知向量=（3-2），=（-5，-1），则=______．

正确答案

=（-）==（-4，）

故答案为（-4，）

题型：填空题

填空题

如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=，=，则=______（用、表示）．

正确答案

∵CE=3EB，∴=．

又∵=-，

∴=+=+

=+(-)=+．

故答案为+．

题型：填空题

填空题

若向量=（1，k），=（-2，6），k∈R，且∥，则+=______．

正确答案

因为∥，，由两个向量平行的条件得1×6-（-2）k=0，故k=-3，

∴向量=（1，-3），=（-2，6），

则+=（-1，3）．

故答案为：（-1，3）．

题型：填空题

填空题

已知={3，-1}，={1，-2}，且(2+)∥(+λ)，λ∈R，则λ的值为______．

正确答案

∵={3，-1}，={1，-2}，

∴2+=（7，-4），+λ=（3+λ，-1-2λ）

∵(2+)∥(+λ)，λ∈R，

∴7（-1-2λ）-（-4）（3+λ）=0

解得λ=

故答案为：

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