平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

设向量，若向量与向量共线，则

正确答案

=，

∴

略

题型：填空题

填空题

设向量=(1，-2)，=(-2，4)，=(-1，-2)，若向量，，，首尾相接能构成四边形，则向量=______．

正确答案

∵向量，，，首尾相接能构成四边形，∴+++=，

∴=-(++)=-[（1，-2）+（-2，4）+（-1，-2）]=-（-2，0）=（2，0）．

故答案为（2，0）．

题型：填空题

填空题

已知向量i与j不共线，且=+m，=n+，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是______．

正确答案

由=+m，=n+，且A、B、D三点共线，

所以存在非零实数λ，使=λ，即+m=λ(n+)=λn+λ，

所以，所以mn=1．

故答案为mn=1．

题型：简答题

简答题

向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知四边形ABCD，AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB，

求证：ABCD是平行四边形。

正确答案

证明略

证：如图：∵

又由已知

∴，故AB与DC平行且相等，所以ABCD是平行四边形。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的方程为+= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(，)为椭圆上一点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点P（x0，y0）满足=+2，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，求证：+2为定值；

（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）因为点Q(，)为椭圆上一点，

所以+=1，解得a2=4，

所以椭圆方程为+=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

又kOM•kON=•=-，化简得x1x2+2y1y2=0，

又M、N是椭圆C上的点，所以+=1，+=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由=+2，⇒，

所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）

=20（定值）；

（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足x02+2y02=20，即+=1，

所以点P的轨迹是以(±，0)为焦点的椭圆．

故存在点A（，0）、B（-，0），使得|PA|+|PB|=4（定值）．

题型：简答题

简答题

已知向量=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)且∥，⊥求：

（1）x，y的值；

（2）|-|的值．

正确答案

（1）∵向量=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)

又∵∥，

∴3x+8=0，解得x=-，

又∵⊥

∴6-4y=0，解得y=

（2）由（1）得=(2，-)，=(2，)

∴|-|=|（2-2，--）|=

题型：填空题

填空题

已知平面向量=(1，2)，=(-2，m)，且∥，则2+3=______．

正确答案

因为平面向量=(1，2)，=(-2，m)，且∥，

所以1×m-（-2）×2=0，m=-4，

所以2+3=2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）．

故答案为：（-4，-8）．

题型：简答题

简答题

已知向量=31-22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），求：

（1）•和|+|的值；

（2）与夹角θ的余弦值．

正确答案

由已知，向量=31-22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），

∴=(3，-2)，=(4，1)，

（1）•=3*4-2*1=10，|+|=|(7，-1)|=5．

（2）由上得||=，||=，

∴cosθ==．

题型：填空题

填空题

已知

1，

2是平面内两个不共线的向量，=2

2，=k+，若∥，则实数k的值是______．

正确答案

，共线则存在λ使

=λ即 2

2=λ(k+)

∴

∴k=-2．

故答案为：-2．

题型：简答题

简答题

已知向量=(-1，2)，点A（-2，1）与B满足∥，且||=3，求向量的坐标（其中O是坐标原点）．

正确答案

设B（x，y），可得=（x+2，y-1），

因为∥，向量=(-1，2)，

所以2（x+2）=1-y，…①

因为||=3，

所以（x+2）2+（y-1）2=45…②

由①②可得：x=1，y=-5或者x=-5，y=7，即B（1，-5）或者B（-5，7），

所以向量的坐标为（1，-5）或者（-5，7）．

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