平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

平面直角坐标系有点

（1）求向量的夹角的余弦用x表示的函数；

（2）求的最值、

正确答案

解：（1）（2）且，

略

题型：填空题

填空题

若=（x，1），=（4，x），与共线且方向相同，则x=______．

正确答案

由 =λ ，λ＞0，得（x，1）=λ （4，x），

∴，

∴x=2，

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

设O为△ABC的内心，当AB=AC=5，BC=6时，=m+n，则m+n的值为______．

正确答案

由题意，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，则A（0，4），B（-3，0），C（3，0），则（-3，-4），=（6，0）

因为点O在∠ABC的平分线上，所以与及的单位向量的和向量共线．

设这个和向量为，则=（，）+（1，0）=（，），的单位向量=（，），它与的单位向量相等，

又=（3，k），由此得方程=，解方程得k=（另一负根不合题意，舍去）．

所以=（0，-4）=（0，-）．

又=m+n，故（0，-）=m（-3，-4）+n（6，0），即，解得m=，n=．

故答案为：

题型：填空题

填空题

若平面向量与向量=(1，-2)的夹角是180°，且||=3，则=______．

正确答案

∵平面向量与向量=(1，-2)的夹角是180°

∴平面向量=λ（1，-2）

∵||=3

∴λ2+4λ2=45

∴λ=±3

∵两个向量的夹角是180°，

∴λ=-3

∴=（-3，6）

故答案为：（-3，6）

题型：填空题

填空题

已知平面向量，，||=1，||=2，⊥（-2），则|2+|的值是______．

正确答案

由题意可知•（-2）=0，

结合||2=1，||2=4，解得•=，

所以|2+|2=42+4•+2=8+2=10，

开方可知|2+|=

故答案为．

题型：填空题

填空题

设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为______．

正确答案

设=（x，y）

∵与的方向相反，

故=λ=（2λ，λ）（λ＜0）

又∵||=2，

则x2+y2=20

∴5λ2=20

解得λ=-2

则设=（-4，-2）

故答案为（-4，-2）

题型：填空题

填空题

已知向量=(m，n)，=(5，1)，若向量2+与向量-2共线，则=______．

正确答案

因为向量=(m，n)，=(5，1)，

所以量2+=（2m+5，2n+1），-2=（m-10，n-2），

∵向量2+与向量-2共线

∴（2m+5）（n-2）-（2n+1）（m-10）=0⇒5n=m⇒=5．

故答案为：5．

题型：填空题

填空题

已知向量=（1，-2），=（4，5），=（x，-6），若⊥（2+），则实数x等于______．

正确答案

由题意知

2+=2（1，-2）+（4，5）=（6，1）

∵⊥（2+）∴•（2+）=0

∴（x，-6）•（6，1）=6x-1=0

∴x=1

故答案为：1

题型：填空题

填空题

在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使.试利用该定理解答下列问题：

如图，在ΔABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF＝2FA，BF交CE于点M，设，则x＋y＝

正确答案

因为点B、M、F三点共线，则存在实数t，

使.

又，，则.

因为点C、M、E三点共线，则，所以.故，.

题型：填空题

填空题

①∥⇔存在唯一的实数λ，使=λ；

②∥⇔存在不全为零的实数λ，μ，使λ+μ=；

③与不共线⇔若存在实数λ，μ使λ+μ=，则λ=μ=0；

④与不共线⇔不存在实数λ，μ使λ+μ=．下列命题是真命题的是 ______（填序号）

正确答案

①中， =，≠时，不存在λ使=λ成立，故①为假命题；

②中若∥，≠时，由两个向量共线定理知存在实数m，使=m，取λ=1，μ=-m，则λ、μ不全为0，且λ+μ=．

=时，取λ=0即可；反之若λ+μ=，因为λ、μ不全为0，不妨设μ≠0，则=-，故可得∥．

因为原命题和它的逆否命题同真假，而②的逆否命题为③，故③为真命题．

④中λ=μ=0能使λ+μ=成立，故为假命题．

故答案为：②③

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