平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

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题型：填空题

填空题

设、为两个不共线向量，则向量（）与向量共线的条件是=________．

正确答案

因为与共线，则（），即=，

所以，解得=．

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=　　　　.

正确答案

-1

由a=(1,2),a-b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).

由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1.

题型：填空题

填空题

已知ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC、BD交于M，则的坐标为 .

正确答案

题型：填空题

填空题

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=+，其中，则的取值范围是 .

正确答案

试题分析：依题意，，，，，，当且仅当时取等号.

题型：填空题

填空题

已知向量，且∥，则= ；

正确答案

试题分析：因为∥，所以，所以.

点评：本题考查平面向量的数量积的计算，解题时要认真审题，注意两个平面向量平行的条件的灵活运用．

题型：填空题

填空题

设a=(,sinα)，b=(cosα,)，且a// b，则锐角α为 ___________________

正确答案

45°

略

题型：填空题

填空题

已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是　　．

正确答案

﹣5

试题分析：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．

（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；

（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；

（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；

（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；

同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．

则的最小值是﹣5．

故答案为：﹣5．

点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，已知，，则 .

正确答案

题型：简答题

简答题

已知向量,的夹角为, 且, , 若, 求： (1) · ； (2) .

正确答案

：（1）1 （2）

本试题主要是考查了向量的数量积的运用以及向量的数量积性质的运用，七届向量的模长，以及向量的数量积综合运用。

（1）因为向量,的夹角为, 且, ，那么可知·=1

（2）而先平方，在开方，转化为向量的数量积来求解运算。

题型：简答题

简答题

已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1) y2=x，此即点P的轨迹方程；

(2)存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

试题分析：(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|， m0，m=-4t2，

Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，

=(-4t2-，0)，2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

x=4t2，y="2" t， y2=x，此即点P的轨迹方程； 6分。

(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2 10分

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-="0," 即a=时，L=

存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。13分

点评：中档题，首先利用几何条件，确定向量的坐标，并运用向量的坐标运算，确定得到抛物线方程。在直线与圆的去位置关系研究中，充分利用了圆的“特征三角形”，确定弦长。

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