平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos2-1）且∥．

（Ⅰ）求锐角B的大小；

（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

正确答案

（Ⅰ）∵=（2sinB，-），=（cos2B，2cos2-1）且∥，

∴2sinB（2cos2-1）=-cos2B，

∴2sinBcosB=-cos2B，即sin2B=-cos2B，

∴tan2B=-，

又B为锐角，∴2B∈（0，π），

∴2B=，

则B=；…（6分）

（Ⅱ）∵B=，b=2，

∴由余弦定理cosB=得：a2+c2-ac-4=0，

又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），

则S△ABC的最大值为．…（12分）

题型：填空题

填空题

已知△ABC及其平面内一点P满足++=0，若实数满足+=．则=（）．

正确答案

题型：简答题

简答题

已知平面向量=(，-1)，=(，)．若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3)，=-k+t，且⊥．

（1）试求函数关系式k=f（t）

（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．

正确答案

（1）∵⊥，∴•=0，即 [(+t2-3)]•(-k+t)=0．

∵•=0，

2=4，

2=1，∴-4k+t（t2-3）=0，即 k=t(t2-3)．

（2）由f（t）＞0，得 t(t2-3)＞0，即t(t+)•(t-)＞0，解得-＜t＜0 或 t＞．

题型：简答题

简答题

已知平面直角坐标系上的三点A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），且与共线．

（1）求tanθ；

（2）求sin(2θ-)的值．

正确答案

（1）∵A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ），

∴=（2，1），=（cosθ，sinθ），

∵与共线，

∴=，即2sinθ-cosθ=0，

则tanθ=；

（2）∵tanθ=＞0，θ∈（0，π），

∴θ∈（0，），

由，得sinθ=，cosθ=，

∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=；cos2θ=cos2θ-sin2θ=（）2-（）2=，

则sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin=×-×=．

题型：简答题

简答题

设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．

（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；

（2）若∥，求sin（2θ+）的值．

正确答案

（1）∵•=2+sinθcosθ=，∴sinθcosθ=． …（2分）

∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=．

又∵θ为锐角，∴sinθ+cosθ=（舍负）． …（5分）

（2）∵∥，

∴2×cosθ=sinθ×1，可得tanθ=2．　　　 …（7分）

∴sin2θ=2sinθcosθ===，

cos2θ=cos2θ-sin2θ===-．…（11分）

所以sin（2θ+）=sin2θ+cos2θ=×+×（- ）=． …（14分）

题型：填空题

填空题

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC；

（1）求角B的大小；

（2）设=(sinA，cos2A)，=(4k，1)(k＞1)，且•的最大值是5，求k的值．

正确答案

（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC

即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．

∴cosB=∵0＜B＜π，∴B=．

（II）•=4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）

设sinA=t，则t∈（0，1]．则•=-2t2+4kt+1=-2（t-k）2+1+2k2，t∈（0，1]

∵k＞1，∴t=1时，•取最大值．依题意得，-2+4k+1=5，∴k=．

题型：简答题

简答题

设=（-1，1），=（x，3），=（5，y），=（8，6），且∥，（4+）⊥．

（1）求和；

（2）求在方向上的射影；

（3）求λ1和λ2，使=λ1+λ2．

正确答案

（1）∵∥，∴6x-24=0．∴x=4．

∴=(4，3)．

∵4+=（4，10），

（4+ ）⊥，∴5×4+10y=0．∴y=-2．

∴=（5，-2）．

（2）cos＜，＞=

==-，

∴在方向上的投影为||cos＜，＞=-．

（3）∵=λ1+λ2，

∴，

解得λ1=-，λ2=．

题型：填空题

填空题

已知ABCD为平行四边形，A（-1，2），B （0，0），C（1，7），则D点坐标为______．

正确答案

设D（x，y）则

又=(-1，2)，=(x-1，y-7)

∴

解得

∴D（0，9）

故答案为：（0，9）．

题型：简答题

简答题

已知向量=(1， 2)， =(-2， m)， =+(t2+1)， =-k+， m∈R，k，t为正实数，

（1）若∥，求m的值；

（2）若⊥，求m的值；

（3）当m=1时，若⊥，求k的最小值．

正确答案

（1）由∥可得1×m-2×（-2）=0，解之可得m=-4；

（2）由⊥可得1×（-2）+2×m=0，解之可得m=1；

（3）当m=1时，=+(t2+1)=（-2t2-1，t2+3），

=-k+=（-k-，-2k+），

由⊥可得（-2t2-1）（-k-）+（t2+3）（-2k+）=0，

化简可得k=t+≥2，当且仅当t=1时取等号，

故k的最小值为：2

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