平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

向量=(1，2)，向量=(0，-1)，则向量+2=______．

正确答案

∵向量=(1，2)，向量=(0，-1)，

∴+2=（1，2）+2（0，-1）

=（1，2）+（0，-2）=（1，0）

故答案为：（1，0）

题型：简答题

简答题

已知A（1，1），B（4，3），C（2m，m-1），

（Ⅰ）若A，B，C可构成三角形，求实数m所要满足的条件；

（Ⅱ）若A，B，C，构成以∠C为直角的直角三角形，求实数m的值．

正确答案

（Ⅰ）=(2m-1，m-2) ， =(2m-4，m-4)

∵A，B，C可构成三角形，∴与不共线，

∴（2m-1）（m-4）≠（m-2）（2m-4）∴m≠-4

即A，B，C可构成三角形时，实数m所要满足的条件是m≠-4

（Ⅱ）∵∠C为直角，∴⊥

∴（2m-1）（2m-4）+（m-2）（m-4）=0，

∴5m2-16m+12=0，

∴m=2或m=

题型：简答题

简答题

已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设=，=．

（1）用，表示向量，；

（2）若向量与+k共线，求k的值．

正确答案

（1）∵A为BC的中点，∴=(+)，

可得=2-=2-，

而=-=-=2-

（2）由（1），得+k=(2k+1)-k，

∵与+k共线，设=λ(+k)

即2-=λ(2k+1)+-λk，

根据平面向量基本定理，得

解之得，k=．

题型：填空题

填空题

已知向量=(2，1)，=(-3，4)，则+=______．

正确答案

向量=(2，1)，=(-3，4)，则+=（2+（-3），1+4）=（-1，5）

故答案为：（-1，5）

题型：填空题

填空题

设、是两个不共线向量，=+λ（λ∈R），=2-，若、共线，则λ=______．

正确答案

由向量共线定理知，存在实数k，满足=λ，

即+λ=2k-k，

由向量相等的定义可得，

解得，

故答案为：-．

题型：简答题

简答题

如图，=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），且 ∥．

（1）求x与y间的关系；

（2）若 ⊥，求x与y的值及四边形ABCD的面积．

正确答案

（1）∵=++=（4+x，y-2），

∴由 ∥，得x（y-2）=y（4+x），

故x+2y=0．

（2）由 =+=（6+x，1+y），=（x-2，y-3）．

∵⊥，∴（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0，又x+2y=0，

∴或

∴当 =（-6，3）时，=（-2，1），

当 =（2，-1）时，=（6，-3）．

故与同向，

四边形ABCD的面积=×||×||=16

题型：简答题

简答题

已知点A（-图，小），B（小，x）及=，=-，求点C，D和向量t坐标．

正确答案

设C（二手，y手），D（二2，y2）

由题意可得=(二手+手，y手-2)，=（3，6），=(手-二2，2-y2)，=（-3，-6）

∵=，=-，

∴(二手+手，y手-2)=（3，6）=（手，2）

(手-二2，2-y2)=-(-3，-6)=（-手，-2）

所以和，

解得和

∴C、D的坐标分别为（0，4），（-2，0）

因此=(二2-二手，y2-y手)=(-2，-4)

题型：简答题

简答题

已知向量=(sinθ，cosθ-2sinθ)，=(1，2)

（1）已知C（3，4），求D点坐标．

（2）若∥，求tanθ的值．

正确答案

（1）设D（x，y）则=(x-3，y-4)=(1，2)

∴，∴，

∴D（4，6）（5分）

（2）∵∥∴2sinθ=cosθ-2sinθ，

∴4sinθ=cosθ，

∴tanθ=（10分）

题型：简答题

简答题

已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且=+t（t∈R），求：

（1）t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？点P在第二象限？

（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

正确答案

（1）=O+t=（1+3t，2+3t），

若点P在x轴上，只需2+3t=0，t=-；

若点P在二、四象限角平分线上，则1+3t=-（2+3t），t=-；

若点P在第二象限，则⇒-＜t＜-．

（2）=（1，2），=（3-3t，3-3t），

若四边形OABP为平行四边形，则=，无解，

故四边形OABP不能成为平行四边形．

题型：简答题

简答题

已知向量=(1，y)，=(1，-3)，且(2+)⊥．

（1）求||；

（2）若(k+2)∥(2-4)，求k的值．

正确答案

（1）由题意可得：2+=(3，2y-3)，

由(2+)•=0可得3-3（2y-3）=0，解得y=2．----------------（3分）

∴=（1，2），由模长公式可得||=---------------（6分）

（2）由（1）知：=（1，2），∴k+2=(k+2，2k-6)，2-4=(-2，16)------------（9分）

∵(k+2)∥(2-4)，∴16（k+2）+2（2k-6）=0，解得k=-1-----------（12分）

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