热门试卷

（1）证：，当n = 1时，等号成立
，当n = 2时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1。                                                                         

（2）解：
∵，∴当n≤10时，|Tn + 1| > |Tn|，当n≥11时，|Tn + 1| < |Tn|
故|Tn| max = |T11|          
又T10 < 0，，T11 < 0，T9 > 0，T12 > 0，∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者
∵，∴T12 > T9
因此当n = 12时，Tn最大。                                           

（3）证：∵，∴| an |随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负
①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差
②当k是偶数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差 
综上可知，中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且  ∵，∴数列{dn}为等比数列。      

（1）因为，

其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0，

当n=1时，由，

解得a1=1，

当n=2时，由，

解得； 

由，

知，

两式相减得，

即，

亦即2Sn+1﹣Sn=2，从而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），

再次相减得，又，

所以所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，其通项公式为，n∈N*，

（2）由（1）可得，

，

若对n∈N*恒成立，

只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立，

∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3。

（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，

则成等差数列，

整理，得2x=1+2y﹣2，

当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，

等式不能成立，

∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2。

（1），，是首项为1，公比为4的等比数列，

.

（2）①成等差数列，，又

，，则，得

，，即，

是公差为1的等差数列.

②，则由，解得或.

（ⅰ）当时，，，则，即，

得，所以，

则，

，则

（ⅱ）当时，，则，

即，得，

=

则，，从而.

综上所述，或。

（1） 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，

所以  

又因为，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列。

所以an－×2n＝×（－1）n－1，即an＝[2n－（－1）n]，所以bn＝2n－（－1）n，  （5分）

（2） 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－（－1）k－1]＋[2k＋1－（－1）k＋1]＝2[2k－（－1）k]，即2k－1＝4（－1）k－1。

① 若k为偶数，则2k－1＞0,4（－1）k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列，（7分）

② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4（－1）k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列。

综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列，（9分）

（3） 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，

即3＋2s－（－1）s＝2[2r－（－1）r]，即2s－2r＋1＝（－1）s－2（－1）r－3，（﹡） （10分）

① 若s＝r＋1，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1＝0，

右端（－1）s－2（－1）r－3＝（－1）s＋2（－1）s－3＝3（－1）s－3，

要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时，又s＞r＞1，且s，r为正整数，

所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列，（12分）

② 若s≥r＋2时，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，

由（2）可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）；右端（－1）s－2（－1）s－3≤0.所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列，

综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。

（1）设等差数列的公差为.

因为，所以.   ①

因为成等比数列，所以.    ②     ……2分

由①，②可得：.             ……………………………………4分

所以.                       ……………………………………6分

（2）由题意，设数列的前项和为，,

，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列……9分

所以 ……………………………………12分

（1）∵等比数列{an}的首项和公比都为2，

∴

∵a1，a2分别为等差数列{bn}中的第一、第三项

∴b1=2，b3=4

∴bn=n+1；

（2）设Cn===

∴Sn===。

（1）法1：由得

所以，所以

故               

因为     ①

对任意的恒成立

则（）   ②

①②得

又，也符合上式，所以

所以               

法2：由于为等差数列，令，

又，

所以

所以故

因为     ①

对任意的恒成立

则（）   ②

①②得

又，也符合上式，所以

所以                    

（2）假设存在满足条件，则

化简得    

由得为奇数，所以为奇数，故

得       

故

所以存在满足题设的正整数。           

（3）易得，则， 

下面考察数列的单调性，

因为

所以时，，又，

因为中的元素个数为5，所以不等式解的个数为5，

故的取值范围是.       

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