· 数列求和、数列的综合应用

· 等差数列与等比数列的综合

等差数列与等比数列的综合
共63题

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等差数列与等比数列的综合
共63题

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1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则其公比为（）

A1

B-1

C

D2

正确答案

B

解析

略

知识点

等差数列与等比数列的综合

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

已知等差数列的前项和为R，且成等比数列。

（1）求的值；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）解法1：当时，，

当时，

.

∵是等差数列，

∴，得.

又，

∵成等比数列，

∴，即，

解得.

解法2：设等差数列的公差为，

则.

∵，

∴，，.

∴，，.

∵成等比数列，

∴，

即.

解得.

∴.

（2）解法1：由（1）得.

∵，

∴.

∴，①

，②

①②得.

∴.

解法2：由（1）得.

∵，

∴.

∴.

由，

两边对取导数得，.

令，得.

∴.

知识点

等差数列与等比数列的综合

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

若三个数成等差数列(其中)，且成等比数列，则的值为 .

正确答案

0

解析

(探究性理解水平/等差数列的性质、等比数列的性质、数列的极限)由题意知，，则

，因为，所以，

所以.

知识点

数列的极限等差数列与等比数列的综合

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于 .

正确答案

8192

解析

等差数列中，，则，

取，.

知识点

等差数列与等比数列的综合

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

已知各项为正数的数列中，，对任意的，成等比数列，公比为；成等差数列，公差为，且。

（1）求的值；

（2）设，证明：数列为等差数列；

（3）求数列的前项和。

正确答案

（1）或（2）或（3），

解析

（1）由题意得

，，或

故数列的前四项为或

（2）∵成公比为的等比数列，

成公比为的等比数列

∴，

又∵成等差数列，

∴.

得，，

，

∴，，即.

∴ 数列数列为公差等差数列，且或.

∴或.………………10分

（3）当时，由（2）得.

，，

，

当时，同理可得，

解法二：（2）对这个数列，猜想，下面用数学归纳法证明：

1）当时，，结论成立.

2）假设时，结论成立，即.

则时，

由归纳假设，. 由成等差数列可知，于是，

∴ 时结论也成立。

所以由数学归纳法原理知.

此时.

同理对这个数列，同样用数学归纳法可证. 此时.

∴或.

（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.

显然结论对成立. 设结论对成立，考虑的情形。

由（2），且成等比数列，

故，即结论对也成立。

从而由数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时.

对于这个数列，同样用数学归纳法可证，此时.

此时

知识点

等差数列与等比数列的综合

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