直线与圆锥曲线的位置关系
共218题

直线与圆锥曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）

所以椭圆方程为………4分

（2）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

由得

得：，即 -------6分

设，

(1)若为直角顶点，则，即，

，所以上式可整理得，

，解，得，满足 -------8分

(2)若为直角顶点，不妨设以为直角顶点，，则满足：

，解得，代入椭圆方程，整理得，

解得，，满足 -------10分

时，三角形为直角三角形. -------12分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；

（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值。

正确答案

（1）

（2）

（3）m=4

解析

（1）由知，曲线是以为焦点的双曲线，且，

故双曲线的方程是，

（2）设，联立方程组：，

从而有：为所求。

（3）因为，

整理得或，

注意到，所以，故直线的方程为。

设，由已知，

又，所以。

在曲线上，得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，

所以为所求。

知识点

向量在几何中的应用双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值。

正确答案

解析

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知识点

向量在几何中的应用直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线与椭圆C交与不同的两点M,N

（1）求椭圆C的方程

（2）当△AMN的面积为时，求k的值.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线的方程为．是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为．试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程．

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知二次曲线Ck的方程：．

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线Ck与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程

正确答案

（1）当且仅当，即时，方程表示椭圆；

当且仅当，即时，方程表示曲线。

（2）解法一：由化简得：

，即（舍），

∵双曲线实轴最长，

∴取最小值6时，9-最大即双曲线实轴最长，

此时双曲线方程为。

解法二：若表示双曲线；则，不妨设双曲线方程为，

联立得，

∵与直线有公共点，

∴，∴（舍）

∴实轴最长的双曲线方程为。

解法三：不妨先求得关于直线的对称点，

设直线与双曲线左支交点为M，则

∴，

∴实轴最长的双曲线方程为。

解法四：设双曲线与直线公共点为

则有解，即有解，

∴，

∴

∴实轴最长的双曲线方程为。

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知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

8．已知,是椭圆长轴的两个顶点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且，若的最小值为1,则椭圆的离心率为（）

正确答案

解析

有对称性不妨设，则，故，故，故所以

知识点

椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

19.已知椭圆的右顶点，离心率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围.

正确答案

解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以 .

又，所以 .

所以 .

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短轴，则.

所以 .

当直线的斜率不为0时，

设直线的方程为，，

则直线DE的方程为.

由得.

即.

所以

所以 .

即 .

类似可求.

所以

设则，.

令，则.

所以是一个增函数.

所以 .

综上，的取值范围是.

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图示：已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点，经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点.

（1）当点在第二象限，且到准线距离为时，求；

（2）证明：.

正确答案

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知识点

直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

20.一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；

（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

（Ⅲ）设过点的直线交椭圆于A.B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。

正确答案

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知识点

直线的一般式方程直线关于点、直线对称的直线方程椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

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