热门试卷

本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

（1）抛物线的准线的方程为，

由点的纵坐标为，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又。

所以.

（2）设，则圆的方程为，

即.

由，得

设，，则：

由，得

所以，解得，此时

所以圆心的坐标为或

从而，，即圆的半径为

（1）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分。

所以可设A，代入椭圆方程得，即.

所以|AC|＝.

（2）假设四边形OABC为菱形。

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，

则，.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为.

因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直。

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾。

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形。

（1）解：由题意，得椭圆W的半焦距，右焦点，上顶点，…… 1分

所以直线的斜率为， 解得 ，……………… 3分     由 ，得，

所以椭圆W的方程为.……………… 5分

（2）证明：设直线l的方程为，其中或2，，.… 6分

由方程组 得，……………… 7分    所以 ，（*）由韦达定理，得, . …………… 8分

所以 . …… 9分

因为原点到直线的距离，……………… 10分

所以 ，         ……………… 11分

当时，因为， 所以当时，的最大值，验证知（*）成立；… 12分

当时，因为，所以当时，的最大值；验证知（*）成立.

所以 .…………… 14分      注：本题中对于任意给定的，的面积的最大值都是.

（1）,的方程为,代入并化简得

.

设,

则

由题意得

所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分

（2）由和题设知，，的垂直平分线的方程为

.                        ①

设的中点为,则,的垂直平分线的方程为

.                       ②

由①、②得、的交点为.

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.

（2）法二：

同理

所以互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

（1）解：由题意知焦点，准线方程为

设，由抛物线定义知，得到，所以

或

由，分别得

或

（2）解：设直线的方程为，点

由得

于是

所以中点的坐标为

由，得

所以   由得

由得

又因为

点到直线的距离为

所以

记

令，解得

可得在上是增函数，在上时减函数，在上是增函数，

又

所以，当时，取到最大值，此时

所以，面积的最大值为

(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|。

由＋y02＝1得y02＝1－，从而

x02y02＝x02(1－)＝。

当，时，Smax＝6，从而时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6。

(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知

直线AA1的方程为

y＝(x＋3)，①

直线A2B的方程为

y＝(x－3)，②

由①②得

y2＝(x2－9)。③

又点A(x0，y0)在椭圆C上，故

y02＝1－。④

将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)。

因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)