立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）

A

B

C

D6

正确答案

B

解析

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知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14. 如图所示，四棱锥中，底面是边长为的菱形，棱，．有下列命题：

① 若是的中点，则平面；

② 若，则；

③ 若是正三角形，则平面；

④ 若，，则四棱锥的体积为.

其中正确的命题是（）.

正确答案

①②④

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知识点

命题的真假判断与应用棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图1，在直角梯形中, 将沿折起，使平面ADC平面ABC,得到几何体D－ABC, 如图2所示。

（Ⅰ）若E为AD的中点，试在线段CD上找一点F，使EF∥平面ABC，并加以证明；

（Ⅱ）求证: BC⊥平面ACD；

（Ⅲ）求几何体A－BCD的体积。

正确答案

（Ⅰ）在CD上中点F, 使EF∥平面ABC（略）

（Ⅱ）在图1中,可得,从而,故，

取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,

∵面,∴

又,

∴平面

另解：在图1中,可得, 从而, 故

∵面面,面面,面,从而平面[来源:学§科§网]

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知为三棱锥的高，

所以 ∴几何体的体积为

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

7．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为（）．

正确答案

8

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．

（1）求证：//平面；

（2）求证：；

（3）求。

正确答案

（1）

连结，在中，、分别为，的中点，则

（2）

（3）

且

，

∴ 即

=

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．给出下列命题：

① 已知、为异面直线，过空间中不在、上的任意一点，可以作一个平面与、都平行；

② 在二面角的两个半平面、内分别有直线、，则二面角是直二面角的充要条件是或；

③已知异面直线与成，分别在、上的线段与的长分别为4和2，、的中点分别为、，则；

④若正三棱锥的内切球的半径为1，则此正三棱锥的体积最小值．

则正确命题的编号是。

正确答案

④

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知识点

充要条件的判定命题的真假判断与应用棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图，在直三棱柱中，AB⊥BC，E，F分别是，的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）若，求三棱锥的体积．

正确答案

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棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中点，

（1）求证：；

（2）求四面体的体积。

正确答案

（1）证：取的中点,连接、，则为中位线，

又故四边形是平行四边形,即

面；面面

（2）解：，面面且交于

面，即就是四面体的高，

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棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．一个四棱锥的三视图如图所示：

（1）根据图中标出的尺寸画出直观图（不要求写画法步骤）；

（2）求三棱锥A-PDC的体积；

（3）试在PB上求点M，使得CM∥平面PDA并加以证明。

正确答案

（1）

（2）由三视图可知：底面，底面ABCD为直角梯形，PB=BC=CD=1，AB=2，

∴ .

（3）当M为PB的中点时，CM∥平面PDA.

取PA中点N，连结MN，DN，可证MN∥CD，且MN＝CD，

∴CM∥DN，又。

故CM∥平面PDA.

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简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

18.如图是正三棱柱，，, 若为棱中点.

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积.

正确答案

（1）略

（2）

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棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中．E为侧棱PD的中点．

（Ⅰ）求证：PB//平面AEC；

（Ⅱ）若F为侧棱PA上的一点，且，则为何值时，PA平面BDF？并求此时几何体F—BDC的体积．

正确答案

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简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）

A

B

C3

D

正确答案

D

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知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．如图所示,矩形中，平面，为上的点，且平面交与点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积．

正确答案

（1）略;

（2）略;

（3）．

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棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

正确答案

（1）证明：在中，是等腰直角的中位线，

在四棱锥中，，，

又平面

又平面,

（2）在直角梯形中，

又垂直平分，

∴

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棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是________。

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正确答案

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