立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD面ABCD，E是PD上一点。

（1）求证：ACBE。

（2）若PD=AD=1，且的余弦值为，求三棱锥E-PBC的体积。

正确答案

解：（1）连接BD 是正方形

又面

面

又BE面PBD；

（2）设，则

又；

中，由余弦定理解为：

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13．某长方体的对角线长是4，有一条棱长为1，那么该长方体的最大体积为________________。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点均在同一个球面上，该四棱锥的三视图如图，则在球内任取一点Q,则点Q在四棱锥P-ABCD内的概率为_________

正确答案

解析

由三视图可知,四棱锥P-ABCD放在长方体中如图所示，

外接球的半径为R=PC=2，

所以外接球的体积V球=,V四棱锥P-ABCD=

故所求概率P=

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题与面积、体积有关的几何概型

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点均在同一个球面上,该四棱锥的三视图如图,则在球内任取一点Q,则点Q在四棱锥P-ABCD内的概率为_________

正确答案

解析

由三视图可知,四棱锥P-ABCD放在长方体中如图所示,

外接球的半径为R=PC=2,

所以外接球的体积V球=,V四棱锥P-ABCD=

故所求概率P=

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题与面积、体积有关的几何概型

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6.在边长为1的正方形ABCD内任取一点P,则动点P到点A和C的距离都小于1的概率是（）

A1-

B-1

C

D2-

正确答案

B

解析

满足条件的正方形ABCD如图所示,

其中满足条件的动点P的平面区域如图中阴影部分,

则正方形的面积S正方形=1,

阴影部分的面积S阴影=.

故所求事件的概率为.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题与面积、体积有关的几何概型

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

18．在棱长为的正方体中,是线段的中点,底面ABCD的中心是F.

（1）求证:；

（2）求证:∥平面；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

解: （1）证明：根据正方体的性质，

因为，所以，又

所以，，所以；

（2）证明：

连接，因为，

所以为平行四边形，因此

由于是线段的中点,所以，

因为面，平面，

所以∥平面

（3）

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6.—个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为

A120cm3

B80cm3

C100cm3

D60cm3

正确答案

C

解析

由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，其直观图如图：

长方体的长、宽、高分别为5、4、6，∴长方体的体积为5×4×6=120，削去的三棱锥的体积为5×4×6=20，∴该几何体的体积为120-20=100cm2．故选C

考查方向

本题主要考查空间几何体的三视图，根据三视图还原成空间几何体求体积，中档题，体现了学生对所学知识的运用能力。

解题思路

本题考查并集的运算。

易错点

三视图概念不清楚

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

|

简答题 · 5 分

14.在三棱锥S—ABC内任取一点P，使得的P-ABC的体积大于S-ABC的体积的概率是 .

正确答案

解析

如图所示，只有当P点为SO的中点，即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时，符合要求。所以填

考查方向

概率、三棱锥的体积的求法。

解题思路

根据题意做出图形，求解

易错点

不会计算三棱锥体积，不理解相关概率的意义

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与面积、体积有关的几何概型

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19.已知在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB丄AC，SA = SC.（1）求证:平面SBD丄平面（2）若 AB = 2，SB = 3，cos∠SCB=，∠SAC=60。，求四棱锥 S—ABCD 的体积.

正确答案

如图所示（1）设AC∩BD=O,连接SO

因为SA=SC，

所以SO∩SB=S,

所以AC⊥平面SBD,

因为AC在平面ABCD内，

所以平面SBD⊥平面ABCD

（2）⊥平面ABCD,即

由（1）知，AC⊥BD,所以底面ABCD是菱形，

所以BC=AB=2

因为SB=3,cos∠SCB=1/8

所以由余弦定理可得，SC=2,

所以∠SAC=60°，

所以SAC是等边三角形

所以在Rt△SOH中，SH=SO*sin60°=3/2

所以

解析

证AC垂直于面ABCD, 设AC交BD于0,因为SA=SC，SO交SB于S,所以AC垂直于平面SBD,因为AC在平面ABCD内，所以面SBD垂直于面ABCD.求底面面积时，先用余弦定理求出角SOB=120度，角SOH=60度，所以四棱锥的体积为

考查方向

立体几何中的相关计算和证明

解题思路

通过线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直，找清四棱锥的底面和高，利用公式求解。

易错点

面面垂直概念混淆，立体感不强

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10.点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB = BC = AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）

A

B8

C

D

正确答案

C

解析

AB=BC=AC=√3∴四面体ABCD体积最大时,D在ABC的另一个半球内正△ABC面积=3√3/4∴高=4∴D到面ABC距离=4ABC所在面的圆心为O'球心为O∴O'A=O'B=O'C=2√3×√3×sin60°=1设球的半径为R勾股定理得(4-R)²+1²=R²解得R=17/8∴表面积=4πR²=289/16所以选C

考查方向

本题主要与球体有关的计算、四面体体积最值问题。属于较难题

解题思路

先找到四面体体积最大时球的半径，然后再求表面积

易错点

找不到四面体体积最大时的情况，忘记球表面积计算公式

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

6．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则___________.

正确答案

4

解析

若正三棱柱的所有棱长均为,

则其体积为,

由,解得.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9．右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

由图可知，此几何体为底边长分别为1，2，高为2的三棱锥。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。本题主要考查三视图

考查方向

本题主要考查三视图

解题思路

1、还原几何体；

2、求出体积，即可得到结果。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

本题易在还原几何体时发生错误。

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF．（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；（Ⅱ）若AB＝2，求四棱锥E－ABCD的体积．

正确答案

（1）略；（2）．

解析

⑴证明：设与交于点，连结，在矩形中，点为中点，

因为为中点，

所以∥，

又因为平面，平面，

所以∥平面.

⑵解：取中点为，连结，平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，

同理平面，

所以，的长即为四棱锥的高，在梯形中，

所以四边形是平行四边形，

，

所以平面，

又因为平面，

所以，

又，，

所以平面，.

注意到，，，

所以 .

考查方向

本题考查了立体几何中的线面平行和体积．属于考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何，解题步骤如下：

1、转化为证明线线平行。

2、利用体积公式求解。

易错点

第一问中的线面平行的转化。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面为菱形，

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若求四棱锥的体积.

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

证明：取的中点连接，

底面为菱形，为正三角形，

又为的中点，

侧面为正三角形，为的中点

面，.

（Ⅱ）

由（Ⅰ）面得：面面，作于面;

由侧面为边长等于2的正三角形、为正三角形、为的中点得：,又设的中点为

考查方向

线线垂直、线面垂直、面面垂直

解题思路

作出适当的辅助线，根据线面垂直证明线线垂直

易错点

找垂直条件时找不到

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9.如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，，则三棱锥与四棱锥的体积比为

A1：2

B1：3

C1：6

D1：8

正确答案

D

考查方向

本题考察了棱锥的体积，考察了空间中点到平面的距离

易错点

本题容易在没有发现B，D点的位置关系，导致无法解答

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

考查方向

易错点

知识点