- 立体几何与空间向量
- 共2637题
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
（I）证明：
(II)若
正确答案
知识点
18． 如图，四边形
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：平面
（Ⅲ）求三棱锥
正确答案
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）
解析
（Ⅰ）取
因为点
所以
又
所以
所以四边形
所以
又
所以
（Ⅱ）连接
因为四边形
因为
又因为
又
所以
又
又
法二：因为四边形
因为
又因为
所以平面
又平面
所以
又
又
（Ⅲ）因为
考查方向
本题考查了线面平行，面面垂直的证明，体积的求法，在近几年的各省高考题出现的频率非常高．
解题思路
（Ⅰ）借助于平行四边形，得到线线平行，进而得到线面平行；
（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理；
易错点
定理记忆不清致误．
知识点
18．如图，在四棱锥
（I）求证：平面
（II）求三棱锥
正确答案
（1）见解析；
（2）
解析
本题属于立体几何应用中的基本问题，题目的难度不大，用到一些平面几何的知识。
（1）化为求线面垂直
（2）转变思想，换个角度看问题。
（I）连接BQ，因为ABCD是直角梯形，AD∥BC,AD=2BC,Q为AD的中点，
所以BCDQ为平行四边形，又因为CD=
因为ΔPAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，
所以PQ⊥AD,PQ=
在ΔPQB中，QB=
因为AD∩BQ=Q,AD、BQ
所以PQ⊥平面ABCD．
因为PQ
(II)由（I）知：PQ⊥平面ABCD，PQ=
因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=
所以ΔBCD是直角三角形，其中∠BCD=
因为BC=1,CD=
考查方向
本题考查了空间面面垂直、求椎体体积等知识，全面考查了学生阅读能力、空间想象能力与分析问题解决问题的能力，属于中档题，立体几何也是高考的必考内容，常与平几知识相结合，也有的会需要建立空间坐标系，结合空间向量的知识解决。
易错点
第二问求三棱锥的体积，如果不知道转化，则无法求出．
知识点
18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）求正四棱锥
正确答案
略
解析
（Ⅰ）证明：直三棱柱
（Ⅱ）
考查方向
本题考查了立体几何中的面面垂直的证明和正四棱锥的体积问题，
解题思路
本题第一问证明面面垂直，只要证明线面垂直即可；第二问把两个几何体的体积求出来，由两个几何体的体积关系直接求出高就行了。
易错点
1、解题 的规范化问题，2、第二问中不能正确的求出所需几何体的体积。
知识点
13.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位cm），可得这个几何体的体积是__________cm3.
正确答案
解析
由三视图可知，几何体为底面为边长是2的正方形，高为2的四棱锥，故该几何体的体积
考查方向
本题主要考查了利用三视图求几何体体积。
解题思路
本题考查利用三视图求几何体体积
易错点
由三视图还原原图时容易出错。
知识点
14.在三棱锥S—ABC内任取一
正确答案
解析
如图所示，只有当P点为SO的中点，即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时，符合要求。所以填
考查方向
概率、三棱锥的体积的求法。
易错点
不会计算三棱锥体积，不理解相关概率的意义
知识点
19.已知在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB丄AC，SA = SC.
（1）求证:平面SBD丄平面
（2）若 AB = 2，SB = 3，cos∠SCB=
正确答案
如图所示
（1）设AC∩BD=O,
连接SO
因为SA=SC，
所以SO∩SB=S,所以AC⊥平面SBD,
因为AC在平面ABCD内，
所以平面SBD⊥平面ABCD
（2）作SH⊥平面ABCD,即
由（1）知，AC⊥BD,
所以底面ABCD是菱形，
所以BC=AB=2
因为SB=3,cos∠SCB=1/8
所以由余弦定理可得，
SC=2,所以∠SAC=60°，
所以SAC是等边三角形
所以在Rt△SOH中，SH=SO*sin60°=3/2
所以
解析
证AC垂直于面ABCD,
设AC交BD于0,
因为SA=SC，
SO交SB于S,
所以AC垂直于平面SBD,
因为AC在平面ABCD内，
所以面SBD垂直于面ABCD.求底面面积时，
先用余弦定理求出角SOB=120度，角SOH=60度，
所以四棱锥的体积为
考查方向
立体几何中的相关计算和证明
解题思路
通过线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直，找清四棱锥的底面和高，利用公式求解。
易错点
面面垂直概念混淆，立体感不强
知识点
8．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
正确答案
解析
由图可知，此多面体是一个以4为高，以长和宽分别是6、2的矩形为底的四棱锥。则V=sh/3=16。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。
考查方向
本题主要考查三视图
解题思路
（1）还原几何体；（2）求出体积，即可得到结果。
A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。
易错点
本题易在还原几何体时发生错误。
知识点
11． 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为
正确答案
4
解析
如图，画出三棱柱，可知体积
考查方向
本题考查了通过三视图还原实物的能力，在近几年的各省高考题出现的频率非常高．
解题思路
由三视图可知三棱柱的一个侧面是水平放置的．
易错点
不能还原出实物图像．
知识点
19.如图，在三棱锥
（1）求证：
（2）当
正确答案
（2）
解析
（1）证明：
又
又已知
（2）
而
又
又
而
考查方向
本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
解题思路
（1）利用面面垂直的判定定理证明平面SAC⊥平面AMN．
（2）利用VS-ACM=VD-ACM=VM-DAC，即可求三棱锥S-ACM的体积．
易错点
（1）利用线面垂直条件证明，注意要垂直两条相交直线
（2）利用等体积法求
知识点
6．若正三棱柱的所有棱长均为
正确答案
4
解析
依题意，
考查方向
解题思路
简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为
易错点
准确计算
知识点
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
（I）证明：
(II)若
正确答案
（I）由已知得，
又由
由此得
（II）由
由
所以
于是
由（I）知
所以
又由
又由
五边形
所以五棱锥
知识点
18.
如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
正确答案
(1)证明：∵ PD
∵ DE
又∵ PD
∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点
(2) 正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形
∴ PA
作EF//PB交PA于F 则EF
正三棱锥P-ABC中,D为三角形ABC的重心，PA=6 ∴ AB=6
∴ DG=
Rt△PGD中由射影定理PD=PE·PG ∴ PE=
∵ △PAB为等腰直角三角形，EF
∴ S△PAB=
Rt△PGD中 DE=
∴ 四面体PDEF体积 VD-PEF=
知识点
19．如图，圆锥的顶点为
正确答案
解析
试题分析：因为
所以三棱锥
因为
在
过
在
所以异面直线
考查方向
解题思路
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
易错点
异面直线所成角的寻找
知识点
如图1，在直角梯形
19.证明：
20.当平面
正确答案
（Ⅰ） 略.
解析
试题分析： （Ⅰ） 在图1中，因为
（Ⅰ）在图1中，因为
即在图2中，
从而
又
所以
考查方向
解题思路
在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化
易错点
线线关系与线面关系的转换
正确答案
（Ⅱ） 
解析
试题分析：（Ⅱ）由已知，平面
（Ⅱ）由已知，平面
且平面
又由（Ⅰ）知，
即
由图1可知，
从而四棱锥
由
考查方向
解题思路
2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.
易错点
体积的计算
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