立体几何与空间向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知在正四棱锥－中（如图），高为1 ，其体积为4 ，求异面直线与所成角的大小.

正确答案

见解析

解析

设异面直线与所成角的大小，底边长为,

则依题意得 ……4分

故，

……7分

∥，故直线与所成角的大小为所求 ……9分

……12分

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.

（1）求棱的长；

（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）.

正确答案

见解析

解析

（1）设，则--------------------2’

，解得：-----------------------6’

（2）

---------------------------10’

主视图与俯视图各得2分

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

对于，规定向量的“*”运算为：.

若，解不等式。

正确答案

见解析

解析

（6分）

，（12分）

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在长方体中，，用过，，三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体的体积为120。

（1）求棱的长；

（2）若为的中点，求异面直线与所成角的大小。

正确答案

见解析

解析

（1）设，

…………6分

（2），是所求异面直线所成的角…………8分

在中，，，

…………12分

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．

（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；

（2）证明AB⊥平面BEF；

（3）求多面体E-AFNM的体积．

正确答案

见解析。

解析

（1）解析：，

证明如下：

因翻折后B、C、D重合（如图），

所以MN应是的一条中位线，

则。

（2）因为且

平面BEF，

（3）方法一，

∴，

又　

∴。

方法二：

由（2）知AB即是三棱锥A-BEF的高，AB=4

MB即是三棱锥M-BEN的高，MB=2，

知识点

空间几何体的结构特征

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知变量满足则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即的边界及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得,所以.故选.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，矩形中，点为边的中点，点为边的中点，和相交于点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

设矩形的长，宽，涉及相关图形的面积问题，那么矩形的面积为.如图所示，过点作//交于点，则有,即，亦即.又,即，可得，解得.那么的面积为.

由几何概型的概率公式，得所求的概率为.故选.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积．

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知.

（1）求的最小正周期和单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.在中，角的对边分别为，若，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）

.

所以的最小正周期. （3分）

又由，

得，

故的单调递减区间是. （6分）

（2）由，得，所以，因为，所以，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，因为，所以，即，又，所以，由正弦定理，得. （12分）

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_______________.

正确答案

解析

由三视图知，该几何体由两个共底面的半圆锥构成（如图所示），两个半圆锥侧面积的和为，四边形由两个等边三角形构成，其面积为，故该几何体的表面积为.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C,已知AB=3米，AD=2米。

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。

正确答案

解析

（1）设DN的长为米，则米

,

由得

又得

解得：

即DN的长取值范围是

（2）矩形花坛的面积为

当且仅当时，矩形花坛的面积最小24平方米

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点。

（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；

（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，

又EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，

∴EF∥平面ABD。

（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，

∴AB⊥平面BCC1B1，

又∵AB⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCC1B1。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知向量，若，求的值.

正确答案

见解析

解析

，即， ………………6分

即，

，

. ……………………12分

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD.

（1）求证：DF⊥平面PAF；

（2）在棱PA上找一点G，使EG∥平面PFD，当PA=AB=4时，求四面体E-GFD的体积.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：在矩形ABCD中，因为AD=2AB,点F是BC的中点,

所以平面 …………6分

再过作交于，所以平面，且………10分

所以平面平面，所以平面,点即为所求.

因为,则,AG=1

………………12分

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在四棱锥中，为正三角形，.

（1）求证：；

（2）若，分别为线段的中点，

求证：平面平面.

正确答案

见解析。

解析

（1）

取BD的中点O，连结EO，CO，∵△ABC为正三角形，且CD=CB

∴CO⊥BD，EO⊥BD

又，∴BD⊥平面EOC，∵平面

∴BD⊥EC.

（2）∵N是AB中点，为正三角形，∴DN⊥AB，

∵BC⊥AB，∴DN//BC，

∵BC平面BCE DN平面BCE，∴BC//平面BCE，

∵M为AE中点，N为AB中点，∴MN//BE，

∵MN平面BCE，BE平面BCE，∴MN//平面BCE，

∵MNDN=N，∴平面MND//平面BCE.

知识点

空间几何体的结构特征

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正确答案

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