- 立体几何与空间向量
- 共2637题
如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=AB，D是AB的中点。
（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；
（2）求证：BC1∥平面A1DC。
正确答案
见解析。
解析
（1）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，
∴△A1AB为正三角形，
∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D，
∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，
∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC，
∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC，
（2）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE。
∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点，
在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1，
∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC，
知识点
已知向量
正确答案
解析
因为向量
知识点
在如图所示的组合体中，三棱柱
（1）求证：无论点
（2）当点
正确答案
见解析
解析
（1）∵侧面
又圆柱母线
又
∵
（2）设圆柱的底面半径为
当点
知识点
在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则第
正确答案
66；
解析
设珠宝数构成了一个数列{an}，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，
an＝an－1＋5＋4(n－2)，所以an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n.
知识点
四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 。
正确答案
解析
连接AC，则
∵PA⊥底面ABCD，
∴∠PCA是PC与底面ABCD所成角，
∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，
∴AC=2
∵PA=4，
∴tan∠PCA=
知识点
已知单位向量
正确答案
1
解析
∵单位向量
知识点
如图，棱柱
（1）求证：平面
（2）设
正确答案
见解析
解析
（1）证明：
故
（2）记
因为底面
则
故
知识点
如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，
正确答案
解析
由已知得G是三角形的重心，因此
由于
那么可得
∵
∴k=
知识点
已知
正确答案
解析
由题意，
知识点
已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为 。
正确答案
解析
该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
知识点
如图，已知AC⊥平面CDE，BD//AC，△ECD为等边三角形，F为ED边的中点，CD=BD=2AC=2
（1）求证：CF∥面ABE；
（2）求证：面ABE⊥平面BDE：
（3）求三棱锥F—ABE的体积。
正确答案
见解析
解析
（1）证明：取BE的中点G，连FG∥
（2）证明：△ECD为等边三角形，得到CF⊥ED又CF⊥BD
而CF∥AG ，故
（3）由CF⊥面BDE，
知识点
直线y=
正确答案
解析
如图，
由圆的性质可知
故
知识点
已知向量
正确答案
4
解析
知识点
某圆锥的侧面展开图是半径为1cm的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm
正确答案
解析
设圆锥的底面圆的半径为
体积
知识点
已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;
（3）求四棱锥P－ABCD的侧面积.
正确答案
见解析。
解析
（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是
侧棱PC⊥底面ABCD
（2） 不论点E在何位置，都有BD⊥AE。证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且
又∵
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
（3） 由（1）知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB, ∴Rｔ△PCD≌Rｔ△PCB
∵AB⊥BC,AB⊥PC, 
同理AD⊥PD，∴四棱锥P－ABCD的侧面积
知识点
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