立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且，，，则等于( )

A2

B4

C8

D16

正确答案

C

解析

构造一个长方体，使得四面体ABCD的六条棱分别是长方体某个面的对角线(如图).设长方体的长、宽、高分别为，则故

.

考查方向

空间几何体的计算。

解题思路

构造法来解。

易错点

缺乏空间想象力。

知识点

球面距离及相关计算与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15. 在四棱锥中，,若四边形为边长为2的正方形，,则此四棱锥外接球的表面积为 .

正确答案

解析

根据已知条件，可求外接球的半径为，

所以表面积，

所以表面积为

考查方向

四棱锥的外接球的表面积

解题思路

先根据已知条件求外接球的半径，然后根据表面积公式求外接球的表面积

易错点

求外接球的半径

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为　　　　．

正确答案

解析

依题意，该四面体是棱长为的正四面体，将其放置到正方体中考虑（如图所示），

其外接球与正方体的外接球相同．易得正方体的棱长为1，其体对角线长即为外接球的直径，则，所以该球的表面积为．应填．

考查方向

本题主要考查立体几何中组合体之间的关系，球的表面积公式等知识，考查空间想象能力，和推理论证能力，难度一般。

解题思路

本题主要考查立体几何中组合体之间的关系，球的表面积公式等知识。

解题步骤如下：求出球的半径；利用公式求出球的表面积即可。

易错点

本题不易理解四面体的外接球与正方体的外接球相同这一事实，因而不能正确求出球的半径。

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正

方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为．

正确答案

8π

解析

由题意知该八面体为两个等大的正四棱锥底面相对而成，由于八面体所以顶点都在同一个球面上，所以球O的球心在正四面体的底面中心处，此时O到所以顶点的距离均为，即为球O的半径，所以球O的表面积为。

考查方向

本题主要考查空间几何体的概念，几何体的外接球等知识，意在考查考生的空间想象能力和数形结合的能力；难度比较大。

解题思路

1.先明确题中给出的八面体的形状；

2.根据几何体的形状找到球心在正四棱锥底面中心处，进而求出球的半径，最后求出球的体积。

易错点

1.对于题中出现的八面体想象不出来是什么形状导致根本无从下手；

2.对于几何体外接球的球心的位置确定不了。

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12. 四面体的四个顶点都在球的球面上, ，, ,平面,则球的表面积为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

如图，

为等边三角形，边长为1，则它的外接圆直径BE=，连接AE，则AE即为大圆的直径，,所以得到大圆半径为，所以球的表面积为

考查方向

本题主要考查立体几何中的多面体外接球的问题，难度中档，属高考高频考点。

解题思路

因为AB平面BCD，所以AB所对的弦就是球的直径，然后求出直径

易错点

没有注意到垂直问题，以致于不能找出球的直径

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10. 若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是_____________．

正确答案

128

解析

由题可知，球的半径为4，则正方体的棱长为a,3a2=64,所以表面积为128.

考查方向

本题主要考查球的组合体问题

解题思路

表示球内接正方体的棱长，即可得到结果。

易错点

本题易在求棱长时发生错误。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ，以点A为球心半径为x作球，球面与正方体各棱交点构成的平面图形的面积为y，那么y与x的函数关系对应的图像为( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

前面和后面是线性的CD被排除，又由于中间段保持不变，所以选A

考查方向

本题主要考查空间想象能力与运动变化的函数思想

解题思路

先分成三种情形讨论：等边三角形、六边形和等边三角形

易错点

无法确定平面的形状

知识点

函数图象的作法与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB = BC = AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）

A

B8

C

D

正确答案

C

解析

AB=BC=AC=√3

∴四面体ABCD体积最大时,D在ABC的另一个半球内正△ABC面积=3√3/4

∴高=4

∴D到面ABC距离=4ABC所在面的圆心为O'球心为O

∴O'A=O'B=O'C=2√3×√3×sin60°=1设球的半径为R勾股定理得(4-R)²+1²=R²

解得R=17/8

∴表面积=4πR²=289/16所以选C

考查方向

本题主要与球体有关的计算、四面体体积最值问题。属于较难题

解题思路

先找到四面体体积最大时球的半径，然后再求表面积

易错点

找不到四面体体积最大时的情况，忘记球表面积计算公式

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15. 是同一球面上的四个点，，⊥平面，，，则该球的表面积为 .

正确答案

解析

由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，，

所以OE=3，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，

∴球半径AO=，所求球的表面积S=

考查方向

本题主要考查球的体积和表面积

解题思路

由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．

易错点

本题利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面，,则该球的表面积为_________.

正确答案

32

解析

如下图所示：，构造一个正三棱柱，则易知外接球的球心在上下两个底面中心的连线的中点处，所以可以求出外接球的半径r=，故该球的表面积为32。

考查方向

球的表面积问题。

解题思路

先求出球的半径再计算其表面积。

易错点

不会计算球的半径。

知识点

球面距离及相关计算球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）

A

B

C

D8

正确答案

C

解析

因为三条侧棱两两垂直，所以可设，由题意可知，，则长方体的对角线的长为，所以半径为，所以

考查方向

球的体积和表面积;球内接多面体

解题思路

三棱锥的外接球实际上是它扩展为长方体的外接球,求长方体的对角线的长,就是球的直径,然后求球的体积

易错点

立体感不强;计算能力弱

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.正三棱锥内接于球，球心在底面上，且，则球的

表面积为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如下图所示，由题意得球心O为等边三角形的中心，易知，，所以球的表面积，故选择C选项。

考查方向

本题主要考查了几何体的外接球、球的表面积计算等问题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与几何体的表面积、体积等知识点交汇命题。

解题思路

先根据题意求出半径，再利用球的表面积公式求球的表面积。

易错点

不知如何建立模型求球的半径导致本题出错。

知识点

与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.已知球的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球的表面积为．

正确答案

解析

求出球的半径为，所以表面积。

考查方向

球的内接柱和球的表面积。

解题思路

本题考查空间想象能力，解题步骤如下：先求球的半径再求出其表面积。

易错点

根据已知将球的半径求错。

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知直三棱柱(侧棱垂直于底面)的各顶点都在球O的球面上，且

若三棱柱的体积等于，则球O的体积

为　　　　　.

正确答案

解析

由得h=，外接球的半径2,，所以V=．

考查方向

本题主要考查了空间几何体的外接球的体积。

解题思路

本题利用已知条件找到要求的球的球心位置，进一步求出球的半径，然后利用球的体积公式即可求出。

易错点

本题不会求外接球的半径。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点