热门试卷

（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.

由题意得，，，平面，

∴平面，∴，同理可证面.

∵ ，，

∴为平行四边形，

∴.

则（或其补角）为异面直线和

所成的角.             

由平面几何知识及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得

。

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为，

解法二：

同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线

分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，

∴ ，

得.      

设向量夹角为，则

。

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为，

（２）

如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且

∵ 

.

∴ 几何体的体积为

联结，在长方体中，有.

又是直角三角形的一个锐角，

∴就是异面直线所成的角.

由，可算得.

∴，即异面直线所成角的大小为.

（2）由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等。

∴。

∵，

∴

（1）∵⊥平面

平面

∴CD⊥SD     

又四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD

∴CD⊥平面SDA

平面

∴SA⊥CD.  

（2）∵‖CD

∴或其补角是异面直线与所成角

由（1），BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形.

故异面直线SB与CD所成角的大小为. 

直三棱柱中

所以为异面直线与所成的角（或其补角）

直三棱柱中

得

由点是的中点得

直三棱柱中

中

所以（或）

所以异面直线与所成的角为（或）

（1）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人。

设事件：从位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则。解得 ，所以。            …………………5分

（2）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有位，分别记为

。其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.

从中任意抽取位，可表示为,

,,，共种可能。

设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生。

事件包括,,,，共种可能。

所以。

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为。 ……………………………13分

（1）因为 ，

直线与所成的角就是异面直线与所成角.

又为等边三角形，

异面直线与所成角的大小为.

（2）四棱锥的体积

（1）

（2）连接,由条件知,所以就是异面直线与所成的角。

在中，，所以，

所以异面直线与所成的角为。

（1）

连结，如图，

∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，

∴。

∵平面，平面，

∴平面。

（2）解法1  连结，∵正方形的边长为2，

，∴，，，则，

∴。

又∵在长方体中，，，且，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面，即为三棱锥的高。

∵，

∴。

 解法2： 三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等。

。

（1）证明：∵AC,BD是正方形ABCD的对角线

∴AC⊥BD

∵PD⊥底面ABCD，AC面ABCD

∴PD⊥AC

∵PD∩BD=P

∴AC⊥面PDB

又∵AC面ACE

∴面ACE面PDB

(2)设AC与BD交于一点O，连接EO

由上题知：AC⊥面PDB

∴EO是斜线AE在平面PDB内的射影，AO⊥EO

即为AE与平面PDB所成的角

在中，E、O分别是PD、BD的中点

∴

在边长为1的正方形ABCD中，AO==

∴是等腰直角三角形

∴，即AE与平面PDB所成角为