立体几何与空间向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图5，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，.

（1）求证：OD//平面VBC；

（2）求证：AC⊥平面VOD；

（3）求棱锥的体积.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵ O、D分别是AB和AC的中点，∴OD//BC .

又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.

（2）∵VA=VB，O为AB中点，∴.

连接，在和中，,

∴≌VOC ，∴=VOC=90， ∴.

∵, 平面ABC, 平面ABC, ∴VO⊥平面ABC.

∵平面ABC，∴.

又∵，是的中点，∴.

∵VO平面VOD，VD平面VOD，，∴ AC平面DOV.

（3）由（2）知是棱锥的高，且.

又∵点C是弧的中点，∴，且，

∴三角形的面积，

∴棱锥的体积为，

故棱锥的体积为.

知识点

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

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题型：单选题

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单选题 · 3 分

某工厂准备对已编号（1~60）的60件产品，采用系统抽样的方法欲选取6件产品进行抽样试验，那么选取的产品编号可能是：

A5,15,20,25,30,35

B3,13,23,33,43,53

C1,2,3,4,5,6

D2,4,8,16,32,48

正确答案

B

解析

略

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

略

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

（1）求证：DM//平面APC；

（2）求证：平面ABC⊥平面APC；

（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积。

正确答案

见解析。

解析

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.

（1）若M是FC的中点，求证：直线//平面；

（2）求证：BD⊥；

（3）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）因为,分别为中点，所以// ---------------------2分

又，

所以. -----------------------4分

（2）因为，且

所以 -------------7分

又

所以 ------------------------9分

（3）直线与直线不能垂直 ---------------------------------------10分

因为,,,

，

所以 . ---------------------------------------12分

因为，所以，

又因为，所以.

假设，

因为，，

所以， ------------------------------------------13分

所以，

这与为锐角矛盾

所以直线与直线不能垂直. ---------------------------------------14分

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面，，，，是的中点。

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

（3）求五面体的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：连接，与相交于点，则点是的中点，连接，

∵是的中点，

∴∥，.

∵∥平面，平面，平面平面，

∴∥.

∵，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形.

∴∥，.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）证法1：取的中点，连接，则，

由（1）知，∥，且，

∴四边形是平行四边形。

∴∥，.

在Rt△中，，又，得.

∴.

在△中，，，，

∴.

∴，即.

∵四边形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

证法2：在Rt△中，为的中点，

∴.

在△中，,

∴.

∵∥,

∴.

∵平面, 平面, ,

∴平面.

∵平面,

∴.

∵四边形是正方形，

∴.

∵平面, 平面, ,

∴平面.

（3）

解：连接，

在Rt△中，，

∴.

由（2）知平面，且∥，

∴平面.

∵平面, ∥，

∴平面.

∴四棱锥的体积为.

∴三棱锥的体积为.

∴五面体的体积为.

知识点

组合几何体的面积、体积问题直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

甲、乙进行乒乓球比赛，比赛规则：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜方。

（1）根据以往战况，双方在每一分的争夺中甲胜的概率为，求甲以8∶9落后的情况下最终以12∶10获胜的概率；

（2）在五局比赛中，记甲以8∶9落后的情况下最终以12∶10获胜的局数为，求的期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）比分从8：9到12：10只有以下三种情况：

由此可以看出，最后两分必是甲得分且必出现10平，所以甲以8：9落后的情况下最终以12：10获胜的概率为。

故甲以8：9落后的情况下最终以12：10获胜的概率为。

（2）因为，所以。

故的期望为。

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，已知直三棱柱中，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：连接与相交于，连

∵是正方形, ∴, 又∵为的中点，

∴， ………3分

∵平面, 平面,

∴平面 ………6分

（2）连接,∵是正方形, ∴, ………7分

∵, 且， ∴平面, ………9分

∴, ………10分

∵与相交, ∴平面, ………12分

∴. ………13分

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.（1）求证：//平面；（2）求证：面；

（3）求三棱锥的体积.

正确答案

见解析。

解析

证明：四边形为矩形，

平面，平面,//平面

（2）证明：在中，，，

满足，所以，即

又因为四边形为矩形，所以

又，所以

又因为，所以

又因为四边形为菱形，所以，又，所以

（3）解：

过作于，由第（1）问已证

，

，由题设知

三棱锥的体积是

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 5 分

已知四面体P—ABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABC=BCD=90o，PB=BC=CD=AB。Q是PC上的一点。

（1）求证：平面PAD面PBD；

（2）当Q在什么位置时，PA∥平面QBD?

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，.

（1）证明：∥面；

（2）证明：

正确答案

见解析。

解析

（1）因为、分别为、的中点，

所以∥……………………2分

因为面，面

所以∥面……………………5分

（2）因为面

所以……………………7分

因为，所以

又因为为的中点

所以

得，即……………………10分

因为，所以面

所以……………………12分

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在下图的几何体中，面面，，四边形是矩形，四边形是直角梯形，，四边形是梯形，，，。

（1）求证：面；

（2）求四面体体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）连接，，作的中点，连接

∵，。

∴四边形是菱形。

∴

又∵，

∴四边形是平行四边形。

∴

由已知条件可知，，

所以面，所以

又∵，所以面

（2）取的中点，连，，，

因为且，所以有平行四边形，

所以，

由第一问面，有面

由已知，可知在三角形中，，，

所以有正三角形，。

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图5，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分别是边AB，CD上的点，且2AM＝MD，2CN＝ND，如图5，将△ABD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD，并连结AC，MN（如图6）。

（1）证明：MN∥平面ABC；

（2）证明：AD⊥BC；

（3）若BC＝1，求三棱锥A－BCD的体积。

正确答案

见解析。

解析

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

略

知识点

直线与平面平行的判定与性质

热门试卷

正确答案

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