立体几何与空间向量_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 14 分

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，

（I）求证：；

（II）求证：；

(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得?说明理由.

正确答案

解：（I）因为平面，

所以．

又因为，

所以平面．

（II）因为，，

所以．

因为平面，

所以．

所以平面．

所以平面平面．

（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：

取中点，连结，，．

又因为为的中点，

所以．

又因为平面，

所以平面．

知识点

直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

17.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.

(Ⅰ)求证：FG||平面BED；

(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

解析

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，学.科网即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出，即（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点作于点，则平面，从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且

，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）证明：在中，，由余弦定理可，进而可得，即，学.科网又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.

（Ⅲ）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为

考查方向

直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

3．已知平行直线，，则与的距离是_____.

正确答案

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.

正确答案

（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．

圆柱的体积，

圆柱的侧面积．

（2）设过点的母线与下底面交于点，则，

所以或其补角为与所成的角．

由长为，可知，

由长为，可知，，

所以异面直线与所成的角的大小为．

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．

正确答案

解析

设直线AC与所成角为

设O为AC中点，由已知得，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用已知性质求出，，求得，当时，的最大值为

考查方向

本题主要考查了异面直线所成角、最值问题等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

先由题意设直线AC与所成角为，建立空间直角坐标系，利用已知性质求出

，求得

求出即可

易错点

对异面直线所成角、最值问题不熟悉，计算错误

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，三棱台DEF－ABC中，AB=2DE, G, H 分别为AC,BC的中点.

19.求证：BD//平面FGH.

20.若CF求证：平面BCD⊥平面EGH.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

在三棱台DEF－ABC中，由BC=2EF,H为BC的中点，可得BH//EF,BH=EF,所以HBEF为平行四边形，可得BE//HF.在△ABC中，G,H分别为AC,BC的中点，所以GH//AB,又GHHF=H,所以平面FGH//平面ABED,因为BD平面ABED,所以BD//平面FGH.

解析

如图，连接DG,CD.设CDGF=M,连接MH,在三棱台DEF－ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点，可得DF//CG,DF=CG,所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，所以HM//BD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD//平面FGH.

考查方向

考查线面平行的判定，应用线面平行的判定或者根据面面平行的性质。

解题思路

通过空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，通过构造“面外一线与面内一线平行”或者构造两平面平行从而证明线面平行.

易错点

构造线面平行模型，辅助线或辅助面的做法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2) 证明：连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点，所以GH//AB,由ABBC,得GHBC,又H为BC的中点，所以EF//HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF//HE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH,又BC平面BCD,所以平面平面EGH.

解析

(2) 证明：连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点，所以GH//AB,由ABBC,得GHBC,又H为BC的中点，所以EF//HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF//HE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH,又BC平面BCD,所以平面平面EGH.

考查方向

考查面面垂直的判定，空间垂直关系的转化.

解题思路

通过空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的转化，在一面内寻找另一面的垂线，从而得证。

易错点

构造面面垂直模型，在一面内寻找另一面的垂线。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

正确答案

（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ））根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.

（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.

试题解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

考查方向

1.平行关系；2.垂直关系.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

正确答案

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.

又AB 平面PAB,CM 平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,

因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA ⊥平面ABCD.

从而PA ⊥ BD.

因为AD∥BC,BC=AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD 平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）

A直线AA1

B直线A1B1

C直线A1D1

D直线B1C1

正确答案

D

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

20.求证：BF⊥平面ACFD；

21.求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明详见解析

考查方向

本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

先延长,BE,CF相交于一点K，证明、，从而求出.【解析】延长,BE,CF相交于一点K，如图所示，

因为平面平面ABC，且，所以

平面，因此，

又因为，BE=EF=FC=1，BC=2，所以

为等边三角形，且F为CK的中点，则，

所以.

易错点

对空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识不熟悉，计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

因为平面ACK，

所以是直线BD与平面ACFD所成的角，

在中，，得，

所以直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值为.

考查方向

本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

是直线BD与平面ACFD所成的角，利用余弦定理，求出直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值为.

易错点

对空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识不熟悉，计算错误

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．设是不同的平面，是不同的直线，则由下列条件能得出的是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由知，又因为，所以，故本题选择A选项。

考查方向

本题主要考查了空间点线面的位置关系，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与空间点线面的位置关系、线线、线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理等知识点交汇命题。

解题思路

直接根据相关定理进行判断。

易错点

空间点线面的位置关系、线线、线面、面面平行与垂直的相关定理不熟悉导致出错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18. 直三棱柱中，，M为的中点，N是的交点.

（I）求证：MN//平面；

（II）求证：平面.

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

考查方向

本题考查了直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定

解题思路

本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：

1、利用中位线证明；

2、转化证明进行证明

易错点

第一问中在平面中找与MN平行直线；第二问中在平面.找与MN垂直直线

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16．如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

正确答案

详见解析

解析

试题分析：本题是空间中平行与垂直的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，证明的关键是按照线面平行、面面垂直的判定，找到使定理成立的条件，所以空间中的读图能力，熟练把握空间中垂直关系的判定与性质是解题的突破口。

证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，

所以.

又平面，平面，所以平面.

（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，

又，即，而面，且，

所以面.

而面，所以，

又是正方形，所以，而面，且，

所以面.

又面，所以面面.

考查方向

本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、空间想象能力。

解题思路

本题考查空间中平行与垂直的证明

1、证明线面平行时，关键是设法在平面内找到一条直线与已知直线平行。

2、证明面面垂直本质是转化为证线面垂直，关键是在证线面垂直时，找到两条线是相交直线与已知直线垂直，同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。

易错点

1、第一问中的易忽视线面平行中线在面外。

2、第二问中证明面面垂直本质是转化为证线面垂直，不要忽视证线面垂直时，两条线是相交直线，同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知四棱锥中，在直角梯形中，，且为的中点。

21.求证：

22.求二面角的正弦值。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明：在直角梯形中，过点作，垂足为，则由已知条件易得四边形是矩形，则，即点为的中点，所以点与点重合，。连结因为，所以。

解析

（1）证明：在直角梯形中，过点作，垂足为，则由已知条件易得四边形是矩形，则，即点为的中点，所以点与点重合，。连结因为，所以。

考查方向

本题主要考查了线线平行的证明。

解题思路

由线线到线面的平行。

易错点

定理的条件写不全。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）取的中点因为是等边三角形，所以且又故平面过点作于连结则所以即为二面角的平面角。

由～得所以在中，所以二面角的正切值为，所以.

考查方向

本题主要考查了线面角的求解。

解题思路

先作出线面角再通过解三角形即可。

易错点

不会做出线面角。

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是

A平行于同一平面的两直线平行

B垂直于同一平面的两平面平行

C如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行

D如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直

正确答案

C

解析

A答案还可以为相交和异面，B答案中的两个平面还可以相交，D答案中的两个平面的位置关系还可以是平行的，所以正确答案是C.

考查方向

立体几何证明中的概念问题。

解题思路

可以逐一进行判断找到正确的答案。

易错点

判断出错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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