立体几何与空间向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图1，在直角梯形中，，，且。

现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2。

（1）求证：∥平面;

（2）求证：;

（3）求点到平面的距离。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：

取中点，连结。

在△中，分别为的中点，

所以∥，且。

由已知∥，，

所以∥，且，

所以四边形为平行四边形。

所以∥，

又因为平面，且平面，

所以∥平面，

（2）在正方形中，。

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

所以，

在直角梯形中，，，可得。

在△中，，

所以。

所以，

所以平面，

（3）解法一：因为平面，所以平面平面，

过点作的垂线交于点，则平面

所以点到平面的距离等于线段的长度

在直角三角形中，

所以

所以点到平面的距离等于.

解法二：平面,所以

所以

又，设点到平面的距离为

则，所以

所以点到平面的距离等于.

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是

Am∥α，n∥α

Bm⊥α，n⊥α

Cm∥α，n⊂α

Dm、n与α所成的角相等

正确答案

D

解析

略

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

三棱锥中，，，为的中点，，则点到平面的距离等于（）

A

B 　　　

C

D

正确答案

C

解析

在△中，因为,所以△是直角三角形，且，又,,故，故，又,，所以，所以，设点到面的距离为，由 ,得，解得。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在直三棱柱中，,,则异面直线与所成的角是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如图，取的中点,连接，则,则就是异面直线与所成的角，又,所以△是直角三角形，易知,且点是的中点，所以，，易知，又平面平面，平面平面，所以平面，故在△中，由,得，即异面直线与所成的角为，

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图5，已知平面，平面，△为等边

三角形，，为的中点。

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

正确答案

见解析。

解析

证明：(1) 证：取的中点，连结。

∵为的中点，

∴且。

∵平面，平面，

∴，∴。

又，∴。

∴四边形为平行四边形，则。

∵平面，平面，

∴平面。

（2）求证：平面平面；

证：∵为等边三角形，为的中点，

∴ ∵平面，

平面，∴。

又，故平面。

∵，∴平面。 ∵平面，

∴平面平面。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（）

A2

B

C1

D0

正确答案

C

解析

由题意，当时，；当，或时，，又g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零点，即2︱x-1︱+m+1=0有唯一的实数解，故，则，故可知，所以。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是

A当

B当

C当

D当

正确答案

B

解析

略

知识点

四种命题及真假判断平行公理平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知，则a，b，c大小关系为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

略

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点P、Q在棱CC1上，PQ＝1，,则直线与平面所成角的余弦值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如图，连接与交于点,连接，易证平面,即平面,过点作直线，又由平面,得,且,所以，故易知是直线与平面所成的角，在△中，易知点是的中点，点是的中点，即是△的中位线，所以，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，即为，因为,所以在△中，, PQ＝1，由余弦定理，有。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四边形ABCD为矩形，平面ABE，AE=BE=BC=2平面ACE于点F，且点F在CE上.

（1）求证EDBE；

（2）求四棱锥E—ABCD的体积；

（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN//平面DAE.

正确答案

见解析。

解析

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图1，直角梯形中, 四边形是正方形,,.将正方形沿折起，得到如图２所示的多面体,其中面面,是中点。

(1) 证明：∥平面；

(2) 求三棱锥的体积.

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：取中点，连结，在△中，分别为的中点，所以∥ ，由已知∥，，所以∥，且，所以四边形为平行四边形，所以∥。

又因为平面，且平面，

所以∥平面。

（2）面面，面，

面面，，面

又面，

梯形中，,，,

所以，, ,

,所以, 平面

又平面,所以，平面平面

作,则平面，是所求三棱锥高

在直角三角形中，由面积关系可得，又

所以，

另解：∥,面,面,∥平面,

两点到平面距离相等

因为翻折后垂直关系不变，所以平面,是三棱锥高……9分

面面，面，面面，，面，, 是直角三角形

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

直三棱柱中，与交于一点P，延长到D，使得BD=,连接DC，DA，得到如图所示几何体。

（1）求证：BP∥平面ACD,

（2）求证:平面平面

正确答案

见解析。

解析

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

将棱长为正方体截去一半（如图7所示）得到如图8所示的几何体，点，分别是，的中点。

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）证：连接，交于点

∵平面，平面

∴

∵点，分别是，的中点，∴

又∵，

∴≌，∴

又∵

∴

∴，即

又∵

∴平面

又∵平面

∴

（2）解：∵平面，∴是三棱锥的高，且

∵点，分别是，的中点，∴

∴

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点。

（1）求证：∥平面；

（2）求证：⊥平面；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）分别为的中点，∴∥

又平面，平面

∴∥平面。

（2）

如图，连结

，为中点，,

∴⊥，。

同理, ⊥，。

又,

∴,

∴。

∴⊥。

⊥,⊥，,

⊥平面。

（3）由（2）可知垂直平面

∴为三棱锥的高，且

∴。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面。

（1）若，分别为，中点，求证：∥平面；

（2）求证：；

（3）若，求证：平面平面。

正确答案

见解析

解析

（1）如图，连结。

因为底面是正方形，

所以与互相平分。

又因为是中点，

所以是中点。

在△中，是中点，是中点，

所以∥。

又因为平面，平面，

所以∥平面， ………4分

（2）因为平面底面，且平面平面，

又，平面，

所以面。

又因为平面，

所以，即， ………9分

（3）在△中，因为，

所以。

由（2）可知，且，

所以平面。

又因为平面，

所以平面平面， ………14分

知识点

平面与平面平行的判定与性质

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正确答案

解析

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