热门试卷

（1）证明：在正四棱柱中，取中点,连结

.

四边形是平行四边形.

.………2分

，

四边形是平行四边形.

.

为中点，

.

四边形是平行四边形. ………4分

.

.

,，

.                    ……… 6分

（2） 证明：在上存在一点,使平面

取中点，连结                         ………7分

在正方形中, 

.         .       ………9分

.   .

.                              ………11分

,

,.

平面.

故在CD上存在中点G,使得平面.       ………13分

（1）证明：由题意可知CA=CC1，又CD⊥AC1，

由等腰三角形的性质可知D为AC1的中点，

又F为CC1的中点，所以DF∥AC，

又AC⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC，

同理可证：EF∥平面ABC，又DF∩EF=F，

所以平面DEF∥平面ABC；

（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，

由余弦定理可得：DE2=12+22=3，∴DE=，

∵CD为直角三角形ACC1斜边AC1的中线，

∴CD=，CE==，

所以CD2+DE2=CE2，由勾股定理可得CD⊥DE，

又CD⊥AC1，AC1∩DE=D，所以CD⊥平面AEC1，

（1）因为OE∥平面PBC，OE平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，

所以AO∶OC＝AE∶EP，                        

因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.

所以，                                

（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD。

因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC。

因为F为PC的中点，所以DF⊥PC.              

因为AB平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD。

因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA。

设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a。

在Rt△PAB中，PB＝a。

在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a。

因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB。

在Rt△PFB中，FB＝a，

在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF。

由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB平面PBC，所以DF⊥平面PBC。

又DF平面PCD，所以平面PBC平面PDC，    

法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，

所以MF∥DC，MF＝DC。

因为DC//AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，

即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF，

在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD。

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM。

又因为DC//AB，所以DC⊥AM。

因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD。

又因为PD∩DC＝D，PD、DC平面PCD，所以BF⊥平面PCD。

因为BF平面PBC，所以平面PBC平面PDC.

（1）

如图，取AB的中点F，连接DF，EF。

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC，（2分）

在△PAB中，PA=EA，AF=FB，所以EF//PB。

又因为DFEF=F，PBBC=B，

所以平面DEF∥平面PBC. （4分）

因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC，（6分）

（2）取AD的中点O，连接PO。

在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，，（8分）

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD。

直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，

所以，（10分）

故三棱锥A-PBC的体积，（12分）

。

（1）因为，是函数的两个极值点，

所以，，（2分）

所以，，解得，。

所以，（4分）

（2）因为是函数的两个极值点，

所以，

所以是方程的两根，

因为，所以对一切，恒成立，

而，，又，所以，

所以，

由，得，所以。

因为，所以，即，（6分）

令，则。

当时，，所以在(0，4)上是增函数；

当时，，所以在(4，6)上是减函数。

所以当时，有极大值为96，所以在上的最大值是96，

所以的最大值是，（8分）

（3）因为是方程的两根，且，

所以，又，，

所以，

所以，

其对称轴为，因为，所以，即，（11分）

所以在内函数的最小值

，（13分）

（1）由题意可知，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其面积，高，所以

（2）由三视图可知，平面，∴

∵是正方形，∴

又，平面，平面

∴平面，

∵平面，∴

又是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴

又，平面，平面

∴平面.

（3）∵分别是的中点，∴且

又∵且，∴且

∴四边形是梯形，

是梯形的两腰，故与所在的直线必相交。

所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面。

（1）因为函数为偶函数，所以，

，，

所以，4分

（2）6分

，其中，所以，8分

由题意可知：，，

所以，10分

（3）由的图像关于点对称，又关于直线成轴对称，········12分

,  ， 所以，，①

14分

由的图像关于点对称知道，，，，又因为的图像关于直线成轴对称，所以，，

所以 ②  16分

由①②可知，，。18分

设∠AMN＝θ，在△AMN中，

因为MN＝2，所以。            

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)。             

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2。

答：设计∠AMN为60度时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，

解法二(构造直角三角形)：

设∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ。         

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，，

当且仅当，即时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值。

此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°                 

解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α。

在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，

所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4。              

因为，

，

在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP，

即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy，

因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4。

所以AP2≤12，即AP≤。

当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值。

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，

解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系。

设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)，∵MN＝2，

∴(x1－x2)2＋3x22＝4。                             

MN的中点。

∵△MNP为正三角形，且MN＝2，∴PK＝，PK⊥MN。

kMN·kPK＝－1，即 ，          

∴y0－x2＝(x0－)，∴

，

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，

解法五(变换法)：

以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系。

设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)。

∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x22＝4，即x21＋4x22＝4＋2x1x2

∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2。      

∵△MNP为正三角形，且MN＝2，∴PK＝，PK⊥MN。

顺时针方向旋转60°后得到。

＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1，x2)。

 ，即

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12

即AP≤。

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，

解法六(几何法)：

由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动。

由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，

设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，

由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R。          

在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，

∴R＝，                                       

∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线。

设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝。

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小。

（1）过A作AQ∥C1N交A1C1于Q，连结，

为异面直线与所成的角（或其补角），         （2分）

根据四边形，N是中点，为矩形，可证Q为中点

计算        （3分）

∥BC，=BC，BC∥AD，，四边形为矩形，且∥，

由已知条件和余弦定理可得        （5分）

异面直线与所成的角为         （6分）

（2）过作于H，面面于

面 平面ABC，       （8分）

        （10分）

       （12分）

（1）              2分

当且仅当时等式成立         1分

周长的最小值          1分

（2）,列式：     3分

化简         1分

（3）性质：对称性：关于原点对称

关于轴对称

关于轴对称             3分

顶点：，         2分

的范围：          2分

的范围：         2分

（1）四棱锥的底面积， 高………（3分）

∴                    ………（6分）

（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，

则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。…（8分）

由，知，，

 ∴      …（10分）

中，。   …（13分）

所以异面直线AE与A1C所成的角为。             …（14分）

解析：（1）过点E作交点

，则为异面直线与所成

的角，                         （2分）

，，                     （4分）

，即。  （1分）

（2）过点分别作于点，于点，连接，则⊥平面，

平面⊥平面，过点作于点，则⊥平面

由题意知，，

，，

为中点，即四棱锥的高，             （2分）

同理，再过点作于点，于点，连接，

原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且（2分）

（2分）

答：该粮仓可储存立方米的粮食                                 （1分）