立体几何与空间向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．（如图，在四棱锥平面ABCD，，E为PD的中点，F在AD上且．

（1）求证：CE//平面PAB；

（2）若PA=2AB=2，求四面体PACE的体积．

正确答案

解析

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知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

命题的真假判断与应用直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

7.平面α∥平面β且两平面间的距离为，AB和CD是夹在α，β之间的线段，AB⊥CD，AB=2，则CD长度的取值范围为________。

正确答案

[2，+∞)

解析

当AB和CD共面且与平面β垂直时，CD=2

当CD在与AB垂直的平面上又绕C点或D点转动时，CD的长度可以无限大.

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．

（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；

（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．

正确答案

（Ⅰ）略（Ⅱ）AB=2

解析

(Ⅰ) 取BC的中点M，连接AM，B1M.

因为AB=AC, M是BC的中点，所以AM⊥BC

又因为侧面BB1C1C是菱形，且∠B1BC=60°

所以B1M⊥BC，

而AM∩B1M=M , AM, B1M平面AB1M,

所以BC⊥平面AB1M，因为A B1平面AB1M

所以BC⊥AB1

(Ⅱ) 设AB=，依题意可得，AC=,BC=

因为 M是BC的中点，所以

又因为AB1=BB1, 所以所以AB12＝B1M2＋AM2，，即B1M⊥AM，

由(Ⅰ)知 B1M⊥BC，且AM∩BC=M，所以B1M⊥平面ABC，

即B1M为三棱柱ABC--A1B1C1的高，

所以三棱柱ABC--A1B1C1的体积V=Sh=，

解得，即AB=2

考查方向

本题通过线线垂直、线面垂直、柱体的高与体积等知识，考查考生空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

解题步骤如下：在本题中，要证明两条异面直线垂直，需要证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，即需要线面垂直，即可得到线线垂直。根据题目给出的条件，知道体积，要求线段AB的长，联想到体积等于底面积乘以高，自然而然要去证明B1M为三棱柱ABC--A1B1C1的高，即可求出线段AB的长。

易错点

1、本题易在证明线面垂直时发生错误。2、本题不容易得出B1M为三棱柱ABC--A1B1C1的高，导致题目无法进行。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图所示，三棱锥中，,,两两垂直，,，点为中点.

（Ⅰ）若过点的平面与平面平行，分别与棱,相交于，在图中画出该截面多边形，并说明点的位置（不要求证明）；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

正确答案

（Ⅰ）为棱中点

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）当为棱中点，为棱中点时，平面∥平面.

（Ⅱ）因为，，

所以直线平面，

,

.

又

所以，

设点是的中点，连接，则,

所以，

.

又，而，

设点到平面的距离为，则有，

即，∴，即点到平面的距离为.

考查方向

本题主要考查空间几何中的面面平行的判定以及点面距离的求法。

解题思路

第一问，过O点做AC和CD的平行线即可；第二问用体积相等。在三个直角三角形中分别求出AD、AB、BD，得到三角形ABD为等腰三角形，再作高，求出ABD的面积，再求三棱锥的体积。

易错点

第二问求出的三边长后采用余弦定理求出余弦值，再求正弦值，然后求面积，计算繁琐，导致出错

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16.在中，边，，分别是角，，的对边，且满足：.

（1）求；

（2）若，，求边，的值.

正确答案

解析

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知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则∥；

②若外的一条直线与内的一条直线平行，则∥；

③设，若内有一条直线垂直于，则；

④直线的充要条件是与内的两条直线垂直.

其中所有的真命题的序号是__________ .

正确答案

①②

解析

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知识点

命题的真假判断与应用直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。

22．已知点，参数，点在曲线C：上.

（1）求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的方程;

（2）求的最小值.

23．已知函数

（1）若.求证：；

（2）若满足试求实数的取值范围

正确答案

22.

（1）设点P的坐标为（x，y），则有消去参数α，可得

由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆

∵曲线C：，即，即 ρsinθ-ρcosθ=10，

故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．

（2）由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于．

即|PQ|的最小值为-1．

23.

解：（Ⅰ）

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，在为单调增函数.

且

当时，；

当时，综上所述：

解析

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知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2. 若复数满足，则的虚部为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．设m，n是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题；其中真命题的是（）

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

A

解析

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知识点

命题的真假判断与应用直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17.（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1) 若AB=6 m,PO1=2 m，则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？

正确答案

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

正确答案

（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ））根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.

（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.

试题解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

考查方向

1.平行关系；2.垂直关系.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点是的中点.

求证：（1）;

（2）平面.

正确答案

（1）略；（2）略．

解析

试题分析：此题属于立体几何中的线面关系的位置关系的证明题，难度不大，只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理，即可完成。

（1）在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，

连结BD交AC于点F，连结B1D1交A1C1于点E．

因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因为ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，

所以BB1⊥平面ABCD，又AC平面ABCD，

所以，BB1⊥AC．

又BD∩BB1＝B，BD平面B1BDD1，BB1平面B1BDD1，

所以AC⊥平面B1BDD1．

而BE平面B1BDD1，所以BE⊥AC．

（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，

所以四边形B1BDD1为矩形．

又E，F分别是B1D1，BD的中点，

所以BF＝D1E，且BF∥D1E．

所以四边形BED1F是平行四边形．

所以BE∥D1F．

又D1F平面ACD1，BE平面ACD1，

所以 BE∥平面ACD1．

考查方向

本题主要考查直线与直线．直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．难度较小．

解题思路

本题主要考查直线与直线．直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识。解题步骤如下：

由线面垂直推出线线垂直；

由线线平行推出线面平行。

易错点

第一问在书写时易遗漏BD∩BB1＝B这一条件；

第二问在书写时易遗漏D1F平面ACD1，BE平面ACD1，这些条件。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．在如图所示的多面体中，平面，平面，，，．

（1）在线段上取一点，作平面，（只需指出的位置，不需证明）；

（2）对（1）中，求三棱锥的体积．

正确答案

（1）略;

（2）；

解析

（1）取的中点，连接，平面（如图）．

（注：①作交于，作交于连，亦可满分．②按①作法，保留作图痕迹未作说明也得满分．）

（2）∵，∴，∴，

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，平面，∴．

∵平面，平面，∴平面．

∴到平面的距离为．又，

∴．

考查方向

本题考查了空间点、线、面的位置关系以及空间几何体的体积问题，同时考查了空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1、第（1）问根据线面平行的条件，转化为面面平行的问题求解；

2、第（2）问关键是要求出B到平面FCD的距离，实际上是一个线面平行和线面垂直的综合性问题；

易错点

无法确定点B到平面FCD的距离而无法求解。

知识点

平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．

21.求证：∥；

22.若，且平面平面，试证明平面；

23.在（Ⅱ）的条件下，线段上是否存在点,使得平面?（请说明理由）

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何的问题，（1）线线平行的证明，（2）线面垂直的证明，（3）线面垂直是否存在的问题。

证明：因为底面是正方形，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面．

又因为四点共面，且平面平面，

所以∥

考查方向

本题考查了立体几何。

解题思路

（1）由线面平行最后得到线线平行的证明，

（2）利用线面垂直的判定定理，

（3）利用反证法求解。

易错点

不知道应用判定定理及性质定理去解答。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何的问题，（1）线线平行的证明，（2）线面垂直的证明，（3）线面垂直是否存在的问题。

在正方形中，．

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面．

又平面所以．

由（Ⅰ）可知∥，

又因为∥,所以∥.

由点是棱中点，所以点是棱中点．

在△中，因为，所以．

又因为，所以平面．

考查方向

本题考查了立体几何。

解题思路

（1）由线面平行最后得到线线平行的证明，

（4）利用线面垂直的判定定理，

（5）利用反证法求解。

易错点

不知道应用判定定理及性质定理去解答。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何的问题，（1）线线平行的证明，（2）线面垂直的证明，（3）线面垂直是否存在的问题。

不存在．假设线段上是否存在点 ,使得平面

取AB中点N,连接NE,易知∥,∥,过E有两条直线与AF平行矛盾

线段上不存在点 ,使得平面

考查方向

本题考查了立体几何。

解题思路

（1）由线面平行最后得到线线平行的证明，

（6）利用线面垂直的判定定理，

（7）利用反证法求解。

易错点

不知道应用判定定理及性质定理去解答。

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