立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．

正确答案

解析

在等腰梯形ABCD中,由,得,, ,所以

考查方向

本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．

解题思路

高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断与应用,在利用数量积的定义进行计算时,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向量进行运算,运算时一定要注意向量的方向,搞清两向量的夹角.

易错点

向量的长度与夹角的计算

知识点

平行关系的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC, 的中点.

19.求证:EF∥平面 ;

20.求证:平面平面.

21.求直线与平面所成角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明EF∥平面, 只需证明EF||BA1 且EF 平面

证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC, 的中点,所以EF||BA1 ,又因为EF 平面, 所以EF∥平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明 ,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面关系与面面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明平面平面,可证明,.

因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,BB1||AA1所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间面面位置关系,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面垂直于面面垂直的转化.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

取中点N,连接 ,则就是直线与平面所成角,Rt△ 中,由得直线与平面所成角为.

取中点M和中点N,连接,NE因为N和E分别为,BC中点,所以NE||BB1 ,,故NE||AA1 ,,所以A1N||AE ,,又因为平面,所以平面 ,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为BM||AA1，BM=AA1 ,所以A1M||AB,A1M=AB 又由,有 ,在Rt△ 中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面角定义的灵活运用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

正确答案

（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

解析

（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

考查方向

考查空间的垂直以及平行关系的判定与转化，考查空间推理能力，难度中等。

解题思路

（Ⅰ）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.

（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.

易错点

空间垂直与平行的判定定理的条件分析和步骤的完整性。

知识点

平行关系的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

17.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.

(Ⅰ)求证：FG||平面BED；

(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

正确答案

知识点

平行关系的综合应用

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．

正确答案

知识点

平行关系的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

正确答案

(1)为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

⑵ 为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

知识点

平行关系的综合应用直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

19.在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

20.证明：平面PAB⊥平面PBD。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；

解析

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.

又AB 平面PAB,CM 平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

考查方向

本题考查了线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直的问题

解题思路

本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．

易错点

本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，容易在证明平行时步骤不全面出现错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,

因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA ⊥平面ABCD.

从而PA ⊥ BD.

因为AD∥BC,BC=AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD 平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

解析

（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,

因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA ⊥平面ABCD.

从而PA ⊥ BD.

因为AD∥BC,BC=AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD 平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

考查方向

本题考查了线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直的问题

解题思路

本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．

易错点

本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，容易在证明平行时步骤不全面出现错误。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.

19.证明G是AB的中点；

20.在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（I）因为在平面内的正投影为,所以

因为在平面内的正投影为,所以

所以平面,故

又由已知可得,,从而是的中点.

考查方向

线面位置关系及几何体体积的计算

解题思路

易错点

应用定理时一定要写全定理的条件.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

作图见解析,体积为

解析

（II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.

理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.

连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.

由（I）知,是的中点,所以在上,故

由题设可得平面,平面,所以,因此

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得

在等腰直角三角形中,可得

所以四面体的体积

考查方向

线面位置关系及几何体体积的计算

解题思路

易错点

应用定理时一定要写全定理的条件.

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.在球O的内接四面体中，且四面体体积的最大值为200，则球O的半径为 .

正确答案

13

解析

因为所以当体积最大的时候的情况为，所以填13

考查方向

球的内接四面体。球的相关概念

解题思路

根据题意，先找到四面体体积最大时的情况，进而利用四面体求球的体积

易错点

体积最大时的情况考虑不周全

知识点

平行关系的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

17.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面，，点为中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求与平面所成角的大小；

（III）求三棱锥的体积．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）证明：取AB中点O，连结OD，OE

是正三角形，．

四边形ABCD是直角梯形，，，

四边形OBCD是平行四边形，，

又，．

平面ODE，

．

（2）平面，, ,,

即为所求

在中，

又

=

（3）解：P为CE中点

考查方向

本题考查了立体几何中的线面位置关系的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何中的线面位置关系，解题步骤如下：1、利用线面垂直的性质定理。2、利用向量法转化。

易错点

1、第一问中的线线垂直的判定。2、第二问中求线面角时要利用向量法。

知识点

平行关系的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．已知正方体，，为棱的中点。

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）；

（2）求四面体的体积。

正确答案

（1）由知，

就是异面直线与所成角．

连接，在中，，

所以．

即异面直线与所成的角为；

（利用空间向量同样给分）

（2）算出的面积

到平面的距离就是三棱锥的高，．

该四面体的体积．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且，（）

A若l⊥β，则α⊥β

B若α⊥β，则l⊥m

C若l∥β，则α∥β

D若α∥β，则l∥m

正确答案

A

解析

试题分析：根据线面垂直，线面平行，面面平行的关系逐个进行判断。

对于A，∵l⊥，且l，根据线面垂直的判定定理，得⊥，∴A正确；

对于B，当⊥，l，mβ时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；

对于C，当l∥，且l时，与可能平行，也可能相交，∴C错误；

对于D，当∥，且l，m时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误

考查方向

本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题和数学符号语言的应用问题，本题属于基础题．

解题思路

A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性

质判断B错误C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误．

易错点

要考虑到空间直线，平面可能出现的各种关系.

知识点

平行关系的综合应用直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在四棱锥A—BCDE中，平面平面；，，，。

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面ABC所成的角的正切值。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）连接，在直角梯形中，由，，得

由，得，即

又平面平面，从而平面

（2）在直角梯形中，由，得，

又平面平面，所以平面

做，与延长线交于，连接，则平面，所以是直线与平面所成的角

在中，由，得；

所以，直线与平面所成的角的正切值是

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。

（1）证明：PB∥平面AEC；

（2）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点

∵E为PD的中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；

（2）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，

∴AB=，作AH⊥PB角PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC。

又，A到平面PBC的距离

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.对于空间两条不重合的直线，和一个平面，下列命题中的真命题是（）

A若，，则

B若，，则

C若，，则

D若，，则

正确答案

D

解析

解析：对A选项：，，可推断出m、n可能相交、可能平行也可能异面，A选项错误。

对B选项：，，可推出m、n可能平行也可能异面，B选项错误。

对C选项：，，可推出m、n可能相交也可能异面，C选项错误。

对D选项：若，，一定可以推出。D选项正确。故本题选择D。

考查方向

考查空间直线与直线，直线与平面间位置关系的判定定理.

解题思路

了解直线与平面的关系，直线与直线的位置关系，以及直线和平面平行，垂直间的关系。

易错点

混淆直线与平面平行，直线与平面垂直，直线在平面内的相关判定。

教师点评

要求学生熟悉直线平行、相交、垂直和异面的相关概念及其判定，熟悉并掌握直线与平面间的相互关系及其判定。

知识点

命题的真假判断与应用平行关系的综合应用

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