热门试卷

（1）

由已知条件可知，折叠之后平行关系不变,又因为平面，平面，所以//平面；

同理//平面.

又平面，

平面//平面.

又平面,

∴//平面.

（2）由于

，即

 .

平面,

平面.

（3）法一：平面，

.

又,.

法二：取中点，连接.

由（2）易知⊥平面,又平面//平面,

⊥平面.

又,.

，,

.

.

（1）证明：因为△是正三角形，是的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.       ……………5分

（2）证明：因为平面，平面，所以.

因为是正方形，分别是的中点，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.   …………9分

（3）存在点为的中点，使得平面∥平面.   ……………10分

证明：因为分别是的中点，所以∥.

因为平面，平面  ，所以∥平面 .

同理可得∥平面.

因为，所以平面∥平面.    …………………14分

（1）因为,分别为中点，所以//        ---------------------2分

又，

所以.                              -----------------------4分

（2）因为，且

所以          -------------7分

又

所以        ------------------------9分

（3）直线与直线不能垂直              ---------------------------------------10分

因为,,,

，

所以 .                  ---------------------------------------12分

因为，所以，

又因为，所以.

假设，

因为，，

所以，              ------------------------------------------13分

所以，

这与为锐角矛盾

所以直线与直线不能垂直.        ---------------------------------------14分

（1）证明：连接，与相交于点，则点是的中点，连接，

∵是的中点，

∴∥，.

∵∥平面，平面，平面平面，

∴∥.

∵，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形.

∴∥，.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）证法1：取的中点，连接，则，

由（1）知，∥，且，

∴四边形是平行四边形。

∴∥，.

在Rt△中，，又，得.

∴.

在△中，，，，

∴.

∴.

∴，即.

∵四边形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

证法2：在Rt△中，为的中点，

∴.

在△中，,

∴.

∴.       

∵∥,

∴.       

∵平面, 平面, ,

∴平面.

∵平面,

∴.       

∵四边形是正方形，

∴.        

∵平面, 平面, ,

∴平面.

（3）

解：连接，

在Rt△中，，

∴.

由（2）知平面，且∥，

∴平面.

∵平面, ∥，

∴平面.

∴四棱锥的体积为.

∴三棱锥的体积为.

∴五面体的体积为.

（1）证明：连接与相交于，连

∵是正方形, ∴,  又∵为的中点，

∴，                                          ………3分

∵平面,   平面,

∴平面                                      ………6分

（2）连接,∵是正方形, ∴,             ………7分

∵, 且，  ∴平面,     ………9分

∴,                                          ………10分

∵与相交,   ∴平面,               ………12分

∴.                                          ………13分

证明：四边形为矩形，

平面，平面,//平面

（2）证明：在中，，，

满足，所以，即

又因为四边形为矩形，所以

又，所以

又因为，所以

又因为四边形为菱形，所以，又，所以

（3）解：

过作于， 由第（1）问已证

，

 ，由题设知

三棱锥的体积是

（1）证明：(I) 因为是正三角形，是中点，

所以,即………………1分

又因为，平面，………………2分

又，所以平面………………4分

又平面，所以………………5分

（2）在正三角形中，………………6分

在，因为为中点，，所以

，所以，，所以………………8分

所以，所以………………9分

又平面，平面，所 以平面………………11分

（3）假设直线，因为平面，平面，所以平面……12分

又平面，平面平面，所以……………13分

这与与不平行，矛盾所以直线与直线不平行………………14分

（1）证明：∵在△中，由余弦定理得

,

∴，因此，  …

∵平面，且平面.

∴

又，∴平面

（2）

证明：连接，，设，连接，

∵四边形是平行四边形，∴

由棱台定义及知

//,且，

∴四边形是平行四边形，因此//，

又∵平面，

∴//平面

解法一：

（1）取BC中点O，连结AO交BD于点E，连结PO

∵PB = PC，∴PO⊥BC

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD = BC

∴PO⊥平面ABCD

在直角梯形ABCD中

∵AB = BC = 2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD

∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90°

即AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD。

（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD

得PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a

则PO =a，OE =

在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD– C的大小为arctan

（3）取PB的中点为N，连结CN，则CN⊥PB

又∵AB⊥BC，BC是PB在面ABCD内的射影

∴AB⊥PB，又PB∩BC = B

∴AB⊥面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC

∵CN⊥PB，面PAB∩面PBC = PB

∴CN⊥平面PAB

取PA的中点为M，连结DM、MN

则MN∥AB∥CD，∵MN =AB = CD

∴四边形MNCD为平行四边形

∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

解法二：

（1）取BC中点为O

∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形

∴PO⊥底面ABCD，以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴，如图乙所示，建立空间直角坐标系。

不妨设CD = 1

则AB = BC = PB = PC = 2，PO =

∴A(1，– 2，0)，B (1，0，0)，D (– 1，– 1，0)，P (0，0，)

∴= (– 2，– 1，0)，= (1，– 2，–)

∵·= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–) = 0

∴⊥，∴PA⊥BD

（2）连结AO，设AO与BD相交于点E，连结PE

由· = 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0

∴⊥，∴OA⊥BD

又∵EO为PE在平面ABCD内的射影，∴PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

在Rt△BEO中，OE = OB · sin∠OBE =

∴在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD – C的大小为arctan

（3）取PA的中点M，连结DM

则M，又∵

∴·=× 1 + 0 × (– 2) +

∴⊥，即DM⊥PA

又∵= (1，0，)

∴·=× 1 + 0 × 0 +

∴⊥，即DM⊥PB，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

（1）在直角梯形ABCD中，

所以，所以.                  …………4分

又因为，所以

由，所以

所以                                         …………7分

（2）存在点，使得∥平面，此时   …………9分

证明：在PC上取点使得，连接OE.

由，

所以,可得                       …………13分

又因为

所以∥平面                                    …………14分