立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点。

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）连结和交于，连结

为正方形，为中点，为中点，，

平面，平面

平面，

（2）作于

平面，平面，，

为正方形，，平面，

平面，

，，

平面

平面，平面，，，

，

四棱锥的体积

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，为中点。

（1）证明:平面；

（2）若是线段上一点，且满足，求的长度。

正确答案

见解析。

解析

（1），且为中点，

，又侧面底面，交线为，，

平面. (6分)

（2），因此，即，又在中，，，可得，则的长度为. (12分)

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图，多面体ABCDEFG中，四边形ABCD，CDEF都是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG=1。

（1）若P是BC的中点，证明AP∥平面BFG；

（2）求四面体ABEG的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）取BF中点Q，连PQ、GQ，则PQ∥CF，且PQ=CF=AG=1，

∵CDEF是正方形，DE⊥平面ABCD，

∴ CF⊥平面ABCD，

∴PQ⊥平面ABCD，

又AG⊥平面ABCD，

∴PQ∥AG，APQG为矩形，

∴AP∥GQ

∵QG平面BFG，AP平面BFG，

∴AP∥平面BFG

（2）∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，

又ABCD是矩形，∴AB⊥AD

从而AD⊥平面ABG

又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE

∴

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，，侧面⊥底面，且为等腰直角三角形，，为的中点。

（1）求证：⊥；

（2）求证：∥平面。

正确答案

见解析。

解析

（1）取的中点，连，因为,，

所以⊥,⊥,且,

所以⊥面,因为面，所以⊥

（2）

取的中点，连，因为为中点，所以∥，又因为∥且，

所以四边是平行四边形，所以∥，又，

，所以，面∥平面，又面，所以∥平面。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，，。

（1）求证：；

（2）当时，求此四棱锥的表面积。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：由题意知则

（4分）

（2）

∴.

.（6分）

过D作DH⊥BC于点H,连结PH,则同理可证明，

并且.

（8分）

易得

.

.（11分）

故此四棱锥的表面积

（12分）

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB = 1，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（1）若，求证：；

（2）若二面角的大小为，则CE为何值时，三棱锥的体积为.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：,为PB中点，

∴ 1分

又⊥平面，∴ 2分

又是矩形,∴ 3分

∴，而 4分

∴，∴ 5分

而，∴ 6分

（2）由（1）知：且 7分

∴为二面角的一个平面角，则=60° 8分

∴ 9分

∴，解得 11分

即时，三棱锥的体积为 12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17．如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且。

（1）求证：;

（2）设的中点为，求证：;

（3）设平面将几何体分成的两个椎体的体积分别为。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

18. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．

（1）求证：平面；

（2）求凸多面体的体积．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17．已知在四棱锥P - ABCD中，底面 ABCD是矩形，平面ABCD，AB= 2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD 的中点．

（1）求证：AF平面PDC；

（2）求三棱锥B-PEC的体积；

（3）求证：AF//平面PEC

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

7．如图，已知边长为6的正方形所在平面外的一点，平面，，连接，则与平面所成角的大小（）（用反三角函数表示）

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19.如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD， E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．

（I）求证：BC⊥PC；

（II）求证：EF//平面PDC；

（III）求三棱锥B—AEF的体积.

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19．如图，在三棱锥P—ABC中，PA=2，AB=AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点。

（I）求证：平面PAD；

（II）求点A到平面PEF的距离；

（III）求二面角E—PF—A的正切值。

正确答案

: 解法一：

（I），

AD为PD在平面ABC内的射影。

又点E、F分别为AB、AC的中点，

在中，由于AB=AC，故

，平面PAD

（II）设EF与AD相交于点G，连接PG。

平面PAD，dm PAD,交线为PG，

过A做AO平面PEF，则O在PG上，

所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离

在

即点A到平面PEF的距离为

说明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。

（III）

平面PAC。

过A做，垂足为H，连接EH。

则

所以为二面角E—PF—A的一个平面角。

在

即二面角E—PF—A的正切值为

解法二：

AB、AC、AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（0，2，0），P（0，0，2）

（I）

且

平面PAD

（II）为平面PEF的一个法向量，

则

令

故点A到平面PEF的距离为：

所以点A到平面PEF的距离为

（III）依题意为平面PAF的一个法向量，

设二面角E—PF—A的大小为（由图知为锐角）

则，

所以

即二面角E—PF—A的正切值为

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19. 如图，在三棱柱中，面为矩形，，，为的中点，与交于点，面．

（1）证明：；

（2）若，求直线与面成角的余弦值．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

19.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．

（I）证明：平面；

（II）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则∥；

②若外的一条直线与内的一条直线平行，则∥；

③设，若内有一条直线垂直于，则；

④直线的充要条件是与内的两条直线垂直.

其中所有的真命题的序号是__________ .

正确答案

①②

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

命题的真假判断与应用直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点