- 立体几何与空间向量
- 共2637题
20．如图，在四棱锥
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角
正确答案
解：
解法二：（1） 如图，建立空间直角坐标系，由已知可得：余弦
A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，1，0）,
D（0，2，0）， P（0，0，2）， E（0，1，1），
（2）
由
得
令y=1，则n=(1,1,1),
所以，所求二面角的余弦值为
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
17．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD
（1）求证：AC
（2）若PD=AD=1，且
正确答案
解：（1）连接BD 
又BE
（2）设
又
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
16．如图，在四棱锥
求证：
（1）
（2）
正确答案
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
7.设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不重合的平面。下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
选项A中,a可以包含于β,A错误;选项B中,a与b可以异面,B错误;选项C中,α与β可以相交。故选D。
知识点
2.两个面垂直，经过第一个面内一点且垂直于交线的直线（ ）
正确答案
解析
因为经过第一个面内一点且垂直于交线的直线有三种情况，分别是与第二个平面垂直、相交、平行，所以选D.
知识点
7．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）
正确答案
解析
对于A答案，直线a与b可以相交，也可以异面，也可以平行；
对于B答案，b和a垂直，但是和平面α的关系不能确定，也可以在平面α内；
对于D答案，b和a垂直，但是和平面α的关系不能确定，可以和平面α斜交。
所以，A选项不正确， C选项不正确，D选项不正确，B选项正确。
考查方向
解题思路
1.对每一个选项进行判断即可；
2.也可以画出图形，直接判断。
A选项不正确， C选项不正确，D选项不正确，B选项正确。
易错点
本题在线线平行、线面平行，线线垂直、线面垂直上容易混淆。有些关系没有考虑到导致出错。
知识点
18．如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC,，AB=AD＝1，DC=SD=2，M．N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．
(I)证明：MN//平面ABCD；
(II)证明：DE⊥平面SBC．
正确答案
略，详见解析；
解析
试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，具体解析如下：
证明：（Ⅰ）连
∴
又∵
∴
(Ⅱ) 连
∴
又
∴
∵
∵
又
当
在
∴
又
∴
∵
∴
考查方向
本题考查了立体几何的相关知识，大体可以分成以下几类：
1、考察线面平行的判定，由线线平行得到MN//平面ABCD；
2、线线垂直的判定；
3、三角形相似的判定；
4、线面垂直的判定等．
解题思路
本题考查立体几何中的线面平行、线面垂直，解题步骤如下：
1、由
2、在三角形中利用勾股定理判定线线垂直；
3、三角形相似得出线段成比例，再次得到三角形相似；
4、得到角相等之后再次判定三角形相似，进而得到线线垂直，最后根据线面垂直的判定得到答案。
易错点
1、线面平行的判定条件没有写全；
2、找不到线线垂直的两条直线；
3、线线垂直得到线面垂直时条件遗漏。
知识点
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．（1）若
正确答案
见解析
解析
试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．
（1）连接
因为
所以
因为
因为
所以
（2）因为
所以
所以
又平面
（3）由（2）知，
∴ ∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，
在RtΔPEB中，
直线PB与平面ABCD所成的角为60°．
考查方向
解题思路
本题考查立体几何中的线面位置关系，解题步骤如下：1、利用线面平行的性质定理。2、利用线面垂直的定义及判定定理转化。
易错点
1、第一问中的线线平行的判定。2、第二问中求证线面垂直时要与平面内的两条相交直线垂直。
知识点
如图，在三棱锥
20.求证：平面
21.若
正确答案
略
解析
如图，由题意知
所以 
所以 
又
考查方向
解题思路
证明平面和平面垂直的条件是线面垂直，求线面角可以利用空间直角坐标系。
易错点
在证明时候忽略了条件又
正确答案
解析
解法一：
由
所以 
又
过
所以
由
所以 
所以
解法二：
如图建系，则
所以
设平面
由
设
所以
所以
考查方向
解题思路
证明平面和平面垂直的条件是线面垂直，求线面角可以利用空间直角坐标系。
易错点
在证明时候忽略了条件又
18． 如图，四边形
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：平面
（Ⅲ）求三棱锥
正确答案
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）
解析
（Ⅰ）取
因为点
所以
又
所以
所以四边形
所以
又
所以
（Ⅱ）连接
因为四边形
因为
又因为
又
所以
又
又
法二：因为四边形
因为
又因为
所以平面
又平面
所以
又
又
（Ⅲ）因为
考查方向
本题考查了线面平行，面面垂直的证明，体积的求法，在近几年的各省高考题出现的频率非常高．
解题思路
（Ⅰ）借助于平行四边形，得到线线平行，进而得到线面平行；
（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理；
易错点
定理记忆不清致误．
知识点
19. 四棱锥
（1）若
（2）若
正确答案
详细答案见解析.
解析
试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关函数的知识，即可解决本题，解析如下：
证明（1）连结
由余弦理:
解得
所以
所以
所以
所以
所以，平面
所以
所以
所以
（2） 当
证明：连结
设
由中点得
考查方向
本题考查了线面平行、垂直，余弦定理的相关知识点。
易错点
证明线面垂直时由于不熟悉定理容易证错。
知识点
16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2
（1）求证：AC⊥PB；
（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。
正确答案
见解析
解析
（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，
又∠CBA＝30°，BC＝2
∴AC＝
＝
∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，
故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，
故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．
（2） BM=2
考查方向
解题思路
（1）由余弦定理求AC
（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°
（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB
易错点
证明过程不到位。
知识点
15. 
正确答案
解析
由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
∴球半径AO=
考查方向
本题主要考查球的体积和表面积
解题思路
由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．
易错点
本题利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径
知识点
19.如图，在三棱锥
（1）求证：
（2）当
正确答案
（2）
解析
（1）证明：
又
又已知
（2）
而
又
又
而
考查方向
本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
解题思路
（1）利用面面垂直的判定定理证明平面SAC⊥平面AMN．
（2）利用VS-ACM=VD-ACM=VM-DAC，即可求三棱锥S-ACM的体积．
易错点
（1）利用线面垂直条件证明，注意要垂直两条相交直线
（2）利用等体积法求
知识点
19．如图,四棱柱
（Ⅰ）证明:平面
（Ⅱ）若
正确答案
见解析
解析
试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．
试题解析：（Ⅰ）依题意
∵
（Ⅱ）取
∴四边形
可得
即异面直线
考查方向
本题考查了立体几何中的面面垂直和异面直线所成的角的问题．属于高考中的高频考点。
解题思路
本题考查立体几何，解题步骤如下：
（1）转化为证明线面垂直。
（2）找到三角形，利用余弦定理求解。
易错点
（1）第一问中的面面垂直的转化。（2）第二问中异面直线所成的角求解时要找到适当的三角形。
知识点
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