- 立体几何与空间向量
- 共2637题
17．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。
正确答案
知识点
16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，
则下列直线中与直线EF相交的是（ ）
正确答案
解析
直线B1C1和直线EF在同一平面内，又不平行，所以一定相交，其余选项都是异面直线.
考查方向
解题思路
空间直线的位置关系
易错点
空间想象
知识点
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
（I）证明：
(II)若
正确答案
知识点
18. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
正确答案
（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
解析
试题分析：（Ⅰ））根据
（Ⅱ）设
试题解析：（Ⅰ））证明：因
（Ⅱ）设
考查方向
知识点
如图，在三棱锥
22.求证：
23.求证：平面
24.求三棱锥
正确答案
（Ⅰ）略.
解析
试题分析：（Ⅰ）在三角形
（Ⅰ）因为
所以
又因为
所以
考查方向
解题思路
利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC.
易错点
线线平行、线面平行有关性质的正确运用
正确答案
（Ⅱ）略.
解析
试题分析：（Ⅱ）先在三角形
（Ⅱ）因为
所以
又因为平面
所以
所以平面
考查方向
解题思路
证明OC⊥平面VAB，即证明平面MOC⊥平面VAB.
易错点
线线垂直、线面垂直、面面垂直有关性质定理的正确运用
正确答案
（Ⅲ）
解析
试题分析（Ⅲ）将三棱锥进行等体积转化，利用
（Ⅲ）在等腰直角三角形
所以
所以等边三角形
又因为
所以三棱锥
又因为三棱锥
所以三棱锥
考查方向
解题思路
利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积．
易错点
三棱锥的体积公式的正确运用
如图1，在直角梯形
19.证明：
20.当平面
正确答案
（Ⅰ） 略.
解析
试题分析： （Ⅰ） 在图1中，因为
（Ⅰ）在图1中，因为
即在图2中，
从而
又
所以
考查方向
解题思路
在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化
易错点
线线关系与线面关系的转换
正确答案
（Ⅱ） 
解析
试题分析：（Ⅱ）由已知，平面
（Ⅱ）由已知，平面
且平面
又由（Ⅰ）知，
即
由图1可知，
从而四棱锥
由
考查方向
解题思路
2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.
易错点
体积的计算
19.如图4所示，在矩形
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）若四棱锥
正确答案
（1）略；（2）
解析
.证明：（Ⅰ）∵
∴
故在四棱锥
又∵
∴
又
（Ⅱ）设
在等腰直角
由（Ⅰ）知
故
整理得
连结
于是
∵ 
设点F到
由
所以点F到平面
考查方向
解题思路
第（1）问先根据等腰证明
第（2）问先证明
易错点
无法找到线面垂直的条件；找不到
知识点
4．设
A
B
C
D
正确答案
解析
由
考查方向
解题思路
直接根据相关定理进行判断。
易错点
空间点线面的位置关系、线线、线面、面面平行与垂直的相关定理不熟悉导致出错。
知识点
18. 直三棱柱
（I）求证：MN//平面
（II）求证：
正确答案
见解析
解析
试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求
考查方向
解题思路
本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：
1、利用中位线
2、转化证明
易错点
第一问中在平面
知识点
8．下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是
正确答案
解析
A答案还可以为相交和异面，B答案中的两个平面还可以相交，D答案中的两个平面的位置关系还可以是平行的，所以正确答案是C.
考查方向
解题思路
可以逐一进行判断找到正确的答案。
易错点
判断出错。
知识点
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
20.母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)
21.面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.
22.证明：直线DF
正确答案
点F，G，H的位置如图所示
解析
见答案
考查方向
解题思路
1.第（1）问直接标出即可；
易错点
1.将展开图还原出错；
正确答案
平面BEG∥平面ACH；
解析
平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG＝B
所以平面BEG∥平面ACH
考查方向
解题思路
第（2）问先判断平面BEG∥平面ACH.然后证明即可；
易错点
将展开图还原出错；第（3）问找不到证明直线DF
正确答案
证明详见解析
解析
(Ⅲ)连接FH
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF
同理DF⊥BG
又EG∩BG＝G
所以DF⊥平面BEG.
考查方向
解题思路
第（3）问先证明DH⊥EG，然后证明EG⊥平面BFHD，得到所以DF⊥EG，同理得到DF⊥BG，即可证明所证明的结论。
易错点
2.第（3）问找不到证明直线DF
19.如图，
（1）求证：
（2）求四棱锥
正确答案
（1）见解析；（2）
解析
试题分析：本题属于立体几何中的证明和求表面积问题，
（1）线线垂直转化为由线面垂直来证明；
（2）将每个面的面积算出来，最后相加即可。
（1）取
因为
所以
因此，
（2）设四棱锥
由于
所以
所以
综上，
考查方向
解题思路
本题考查立体几何的问题，解题步骤如下：（1）线线垂直转化为由线面垂直来证明；（2）将每个面的面积算出来，最后相加即可。
易错点
不会将线线垂直转化为由线面垂直来证明。
知识点
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，
21.求证：AD⊥平面BFED；
22.已知点P在线段EF上，
正确答案
见解析
解析
(1)在梯形
∵
∴
∴
平面
∴
∴
∴
考查方向
解题思路
该题解题关键在于找到所求内容的突破点
1)根据余弦定理得出BD进而推出
2)由面面垂直得到线面垂直
3)确定PE为体高，进而求出体积
易错点
本题容易在
正确答案
见解析
解析
解：
（2）由（1）知
∵
∴
考查方向
解题思路
该题解题关键在于找到所求内容的突破点
1)根据余弦定理得出BD进而推出
2)由面面垂直得到线面垂直
3)确定PE为体高，进而求出体积
易错点
本题容易在
如图，在三棱锥
18.证明: 
19.求直线
正确答案
详见解析；
解析
利用线面垂直的判定定理证得结论成立；
证明：∵AB=AC=2，D是
∴
∵BC∥
∴
∵
∴
∵BC∩AO=O，
∴
考查方向
解题思路
连接AO，
易错点
空间向量的计算.
正确答案
解析
建立坐标系如图
∵在三棱柱
∴O（0，0，0），B（0，
即
设平面
得出
∴
可得出直线
考查方向
解题思路
利用空间向量的垂直得出平面
易错点
空间向量的计算.
如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC
24.证明：AB
25.若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
正确答案
详见解析
解析
试题分析：先由已知易得
试题解析：证明：如题（20）图.由
又平面
所以
因
从而
所以
考查方向
解题思路
本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定，通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明.
易错点
线线关系与线面关系的转化
正确答案
解析
试题分析：（Ⅱ）设
试题解析：（2）设
由
即
由
从而四边形DFBC的面积为
由（1）知，PE 
在直角
体积
故得
所以
考查方向
解题思路
本题考查简单几何体的体积的运算，通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程，通过解方程完成解答..
易错点
注意方程思想在解题过程中的应用
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