- 立体几何与空间向量
- 共2637题
如图，直三棱柱ABC
19.证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
20.若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F
正确答案
（1）略；
解析
（Ⅰ）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三
又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.
又
而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.
考查方向
解题思路
1）第一问通过等边三角形的性质找到AE⊥BC，再由线面垂直的判定得到线面垂直，最后得到面面垂直；
2）第二问先找到直线A1C与平面A1ABB1所成的角，通过线面角求得A1D＝CD＝
易错点
证明面面垂直找不到线面垂直的条件，由已知的线面角找不出长度的关系。
正确答案
（2）
解析
（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D，CD.
因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
又
于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝
在Rt△AA1D中，AA1＝
故三棱锥F 
考查方向
解题思路
1）第一问通过等边三角形的性质找到AE⊥BC，再由线面垂直的判定得到线面垂直，最后得到面面垂直；
2）第二问先找到直线A1C与平面A1ABB1所成的角，通过线面角求得A1D＝CD＝
易错点
证明面面垂直找不到线面垂直的条件，由已知的线面角找不出长度的关系。
8．如图，已知棱长为
A
B
C
D
正确答案
解析
满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，∵P是△A′C′D内（包括边界）的动点，∴点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，S在4等分点时，
所以选D
考查方向
棱柱的结构特征
解题思路
满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A′C′D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．
易错点
立体感不强，不会求轨迹方程
知识点
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形。
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积。
正确答案
(1) 
解析
(1)
如图，设所求椭圆的标准方程为
因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
由题设条件
因此所求椭圆的标准方程为
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得
(m2＋5)y2－4my－16＝0.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此
又
所以
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝
＝
由PB2⊥QB2，知
解得m＝±2.
当m＝2时，方程(*)化为9y2－8y－16＝0，
故
△PB2Q的面积S＝
当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积
综上所述，△PB2Q的面积为
知识点
如图，在直三棱柱
求证：（1）平面
（2）直线
正确答案
见解析
解析
（1）∵
又∵
又∵
又∵
（2）∵
又∵
又∵
由（1）知，
又∵
知识点
(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )。
正确答案
解析
T2＋1＝
知识点
如图，四棱锥
（1）求证：
（2）求证：
正确答案
见解析。
解析
知识点
将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
知识点
下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ）
Af（x）=x3
Bf（x）=3x
Cf（x）=x
Df（x）=（
正确答案
解析
A）f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B）f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确；
C）f（x）=
D）f（x）=
知识点
18. 如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，
（1）证明：平面
（2）若
正确答案
（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC
（2）设AB=
AG=GC=
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=
由已知得，三棱锥E-ACD的体积
故
从而可得AE=EC=ED=
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
如图，在四棱锥A—BCDE中，平面
（1）证明：
（2）求直线
正确答案
见解析
解析
证明：（1）连接
由
又平面
（2）在直角梯形
又平面
做
在
在
在
所以，直线
知识点
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点。
求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
正确答案
见解析
解析
（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形。
所以BE∥AD.
又因为BE
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
知识点
设a，b是两个非零向量，( )
正确答案
解析
由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方可得，|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，即a·b＝－|a||b|，所以cos〈a，b〉＝－1，即a与b反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b＝λa
知识点
如图，在三棱锥
（1）证明：
（2）已知
正确答案
见解析
解析
（1）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,
又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC。
因为PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA.
（2）
如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM.
因为BC⊥PA.，得AP⊥平面BMC，所以AP⊥CM.
故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角。
在Rt⊿ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=
在Rt⊿POD中, PD2=PO2+OD2,
在Rt⊿PDB中, PB2=PD2+BD2,
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.
在Rt⊿POB中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5
又
从而
同理CM
因为BM2+MC2=BC2，所以
即二面角B-AP-C的大小为900。
知识点
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°。
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若AB＝CB＝2，A1C＝
正确答案
见解析
解析
（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，
所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
（2）由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1＝
又A1C＝
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高。
又△ABC的面积S△ABC＝
知识点
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