立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5. 已知向量，，若，则（）

A1

B

C

D

正确答案

C

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知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．若，则的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

D

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知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为___________。

正确答案

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空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A12

B24

C36

D48

正确答案

A

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空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.如图, 是边长为的正方形，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.

正确答案

（1）证明：因为平面，

所以.

因为是正方形，

所以，因为

从而平面.

（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM＝BD时，AM∥平面BEF．

取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，

因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，

故四边形AMNF是平行四边形．

所以AM∥FN，

因为AM平面BEF，FN平面BEF，

所以AM∥平面BEF．

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空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在棱上．

（Ⅰ）若为的中点，求证：//平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．

正确答案

解：

（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．

因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，

所以OP为三角形BDF中位线，

所以BF // OP，

因为BF平面ACP，OP平面ACP，

所以BF // 平面ACP．

（Ⅱ）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，

又因为平面ABEF⊥平面ABCD，

且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，

所以AF⊥平面ABCD

从而AF⊥CD

又因为四边形ABCD为矩形

所以AD⊥CD

从而CD⊥平面FAD

所以∠CPD就是直线PC与平面FAD所成的角

又且

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空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（）

A4

B2

C

D

正确答案

A

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空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中．E为侧棱PD的中点．

（1）求证：PB//平面AEC；

（2）若F为侧棱PA上的一点，且，则为何值时，PA平面BDF？并求此时几何体F—BDC的体积．

正确答案

（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，锥体高度为1。

设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，

OE//PB，EO面EAC，PB面EAC内，PB//面AEC

（2）过O作OFPA垂足为F

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，PO2=PF·PA，2PF=1

在棱形中BDAC，又因为PO面ABCD，所以BDPO，

及BD面APO，所以PA平面BDF

当时，在△POA中过F作FH//PO，则FH面BCD，FH=

。

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空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

19.如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，。

（1）求证：；

（2）求多面体的体积。

正确答案

证明及解：

（1）取中点，连，

∥

∥，∥

四边形是平行四边形

∥，∥

又平面，平面

∥平面

在正方形中，∥，∥，

四边形为平行四边形

∥

又平面，平面

∥平面

，平面∥平面

又平面

∥平面．

（2）在正方形中，

又是等边三角形，所以，

所以

于是

又，平面，

又，平面

于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的．

又直三棱柱的体积为，

四棱锥的体积为，

故多面体的体积为．

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空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．在棱长为1的正方体中，二面角的正切值是（）

A

B

C

D

正确答案

A

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空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，∥，，,。

（Ⅰ）求异面直线与所成角的大小；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。

正确答案

解一：（Ⅰ）直角梯形中∥异面直线所成的角就是所成的角（或其补角）。连结

由已知有

所以是等腰直角三角形，所以

故异面直线与所成角为

（Ⅱ）由已知有

直角梯形中

设到平面的距离为，由

由（Ⅰ）知；设与平面所成角为，则有

解法二：以为原点，为轴建立坐标系

（Ⅰ）

（Ⅱ）可求得平面的一个法向量为，设与平面所成角为，

有

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空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．在xoy平面上有一点列，点位于曲线（）上，以点为圆心的⊙与X轴都相切，且⊙与⊙又彼此外切，若，且（）。

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设⊙的面积为，，求。

正确答案

解：（1）∵以点为圆心的⊙与X轴都相切，

∴⊙的半径

又∵⊙与⊙彼此外切，∴|⊙⊙|

∴

即

∵，∴

∴是以为首项，公差为2的等差数列。

（2）由（1）得

又

∴

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空间几何体的结构特征

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

18.图1是一几何体的直观图，右图是该几何体的三视图。

（I）若F为PD的中点，求证AF⊥平面PCD；

（II）求几何体BCE—APD的体积；

（III）若PB和AE交于G点，求四棱锥G—ABCD的体积。

正确答案

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空间几何体的结构特征

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．一组数据3，4，5，s，t的平均数是4，中位数是m，则过点和的直线与直线的位置关系是（）

A平行

B相交但不垂直

C重合

D垂直

正确答案

D

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空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.给定两个模为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中，则的最大值是（）

A1

B2

C

D

正确答案

D

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空间几何体的结构特征

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正确答案

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