- 等比数列的判断与证明
- 共100题
已知等比数列满足:
公比
,数列
的前
项和为
,且
(
).
(1)求数列和数列
的通项
和
;
(2)设,证明:
.
正确答案
见解析。
解析
解法一:由得,
由上式结合
得
,
则当时,
,
,∵
,∴
,
∴数列是首项为
,公比为4的等比数列,
∴,∴
.
【解法二:(1)由得,
由上式结合得
,
则当时,
,
,
∴,
∵,∴
,
∴.
(2)由得
=
,
∴
∴
知识点
设数列,以下命题正确的是( )
正确答案
解析
略
知识点
若函数满足:集合
中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数
是等比源函数.
(1)判断下列函数:①;②
中,哪些是等比源函数?(不需证明)
(2)证明:函数是等比源函数;
(3)判断函数是否为等比源函数,并证明你的结论.
正确答案
见解析
解析
(1)①②都是等比源函数;
(2)证明: ,
,
因为成等比数列
所以函数是等比源函数;
其他的数据也可以
(3)函数不是等比源函数.
证明如下:
假设存在正整数且
,使得
成等比数列,
,整理得
,
等式两边同除以得
.
因为,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数,
所以等式不可能成立,
所以假设不成立,说明函数不是等比源函数.
知识点
在等比数列中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式
__________。
正确答案
解析
略
知识点
设等比数列{}的前n项和为Sn,已知
。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)在与
之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d的等差数列。
(I)在数列{}中是否存在三项
(其中m,k,p是等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由;
(II)求证:
正确答案
见解析。
解析
(1)由,
可得:,
两式相减:.
又,
因为数列是等比数列,所以
,故
.
所以 .
(2)由(1)可知,
因为:,得
.
(Ⅰ)假设在数列中存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列,
则:,即:
,
(*)
因为成等差数列,所以
,
(*)可以化简为,故
,这与题设矛盾.
所以在数列中不存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列.…10分
(Ⅱ)令,
,
两式相减:
.
知识点
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