· 等比数列

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等比数列的判断与证明
共100题

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1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）.

（1）求数列和数列的通项和；

（2）设，证明：.

正确答案

见解析。

解析

解法一：由得，

由上式结合得，

则当时，，

，∵，∴，

∴数列是首项为，公比为4的等比数列，

∴，∴.

【解法二：（1）由得，

由上式结合得，

则当时，，

，

∴，

∵，∴，

∴.

（2）由得=，

∴

∴

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设数列，以下命题正确的是（）

A若，，则为等比数列

B若，，则为等比数列

C若，，则为等比数列

D若，，则为等比数列

正确答案

C

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.

（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）证明：函数是等比源函数；

（3）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论.

正确答案

见解析

解析

（1）①②都是等比源函数；

（2）证明：，，

因为成等比数列

所以函数是等比源函数；

其他的数据也可以

（3）函数不是等比源函数.

证明如下：

假设存在正整数且，使得成等比数列，

，整理得，

等式两边同除以得.

因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

所以等式不可能成立，

所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用反证法的应用

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式__________。

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设等比数列{}的前n项和为Sn，已知。

（1）求数列{}的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。

（I）在数列{}中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；

（II）求证：

正确答案

见解析。

解析

（1）由,

可得：,

两式相减：.

又,

因为数列是等比数列，所以，故.

所以 .

（2）由（1）可知，

因为：，得.

（Ⅰ）假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，

则：，即：,

（*）

因为成等差数列，所以 ,

（*）可以化简为，故，这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列.…10分

（Ⅱ）令，

,

两式相减：

.

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

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