等比数列的判断与证明
共100题

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等比数列的判断与证明
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知m是两个正数2和8的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率是

A或

D或

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，

（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）求数列的前n项和Tn。

正确答案

见解析。

解析

（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1.

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1。

∴，

∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即，

（2）b1=2a1=2. …（5分）

∵，

∴，即，

∴是首项为，公差为1的等差数列，

∴，

（3）∵，

则，

所以，

即，①

则，②

②﹣①得，

故，

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为___________.

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

在等比数列中，公比，前3项和为21，则 .

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

在等差数列中，首项公差，若，则的值为

A37

B36

C20

D19

正确答案

解析

由得，选A

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知，且，，数列、满足，，，。

（1）求证数列是等比数列；

（2）已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；

（3）若数列的前项和为，求。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，

∴,.

∵，，

∴

。

又，

∴数列是公比为3，首项为的等比数列。

（2）依据（1）可以，得。

于是，有，即。

又，则.

因此，数列的递推公式是。

（3）由（2）可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，。

故。

因此，，

，

将上述两个等式相减，得，

可化简为。

所以。

知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　）

正确答案

解析

因为

当且仅当，且，即a=b时，取“=”号。

故选C。

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）记，求的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴，

∴。

（2）当时，，由，得。

当时，，，

∴，即，

∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

（3）由（2）可知：。

∴，

∴。

∴

。

∴，

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

等比数列满足的前n项和为，且

（1）求；

（2）数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1），所以公比 ……………………2分

得

……………………4分

所以 ……………………5分

……………………6分

（2）由（1）知

于是 ……………8分

假设存在正整数，使得成等比数列，则

， ……………………10分

整理得，

解得或

由，得，

因此，存在正整数，使得成等比数列 ……………………12分

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

等比数列中，，前三项和，则公比的值为（）

C1或

D－1或

正确答案

解析

∵，∴或，故选C。

知识点

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