等比数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，

（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）求数列的前n项和Tn。

正确答案

见解析。

解析

（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1.

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1。

∴，

∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即，

（2）b1=2a1=2. …（5分）

∵，

∴，即，

∴是首项为，公差为1的等差数列，

∴，

（3）∵，

则，

所以，

即，①

则，②

②﹣①得，

故，

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

在等比数列中，公比，前3项和为21，则 .

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

在等差数列中，首项公差，若，则的值为

A37

B36

C20

D19

正确答案

解析

由得，选A

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知，且，，数列、满足，，，。

（1）求证数列是等比数列；

（2）已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；

（3）若数列的前项和为，求。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，

∴,.

∵，，

∴

。

又，

∴数列是公比为3，首项为的等比数列。

（2）依据（1）可以，得。

于是，有，即。

又，则.

因此，数列的递推公式是。

（3）由（2）可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，。

故。

因此，，

，

将上述两个等式相减，得，

可化简为。

所以。

知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

等比数列中，，前三项和，则公比的值为（）

C1或

D－1或

正确答案

解析

∵，∴或，故选C。

知识点

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