热门试卷

解析：（1）

，所以为等差数列。

（2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得即

       由有即，从而.[来源:学科网ZXXK]

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。

综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（1）由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1。

∴数列的通项公式为，（2分）

∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分）

又，∴，∴数列的通项公式为，（6分）

（2）由已知得：。

∴，

∴，（8分）

∴两式相减得

，（10分）

∴数列的前项和，（12分）

（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d。

因为a2，a3，a4成等比数列，所以

因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝，因为an＞0，所以d＝。

因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝，

解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，

则，

则，解得或（舍），所以。

解法三：因为a1，a2，a3成等差数列，则，

因为a2，a3，a4成等比数列，则

因为a3，a4，a5成等差数列，则，则

解得：或；当时，（与矛盾，故舍去），所以。

（2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，

所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①  a＝a2na2n＋2，②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2，③

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，

可得a4＝。

所以。

①     当n＝2m，mN*时，

＝－＜0。

②     当n＝2m－1，mN*，m≥2时，

＝－＜0。

综上，对一切n∈N*，n≥2，有。          

证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列。

②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以，

由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，，