热门试卷

（1）当时，有

，也满足上式，

所以数列的通项为. 

（2）因为，

所以对任意的有，

所以数列是一个以6为周期的循环数列

又因为，所以

所以

，

所以数列为常数列. 

（3）因为，且，所以，

且对任意的，有，

设，（其中为常数且），所以

，

所以数列均为以7为公差的等差数列.

记，则，

（其中，为中的一个常数），

当时，对任意的有；

当时，

①若，则对任意的有，数列为单调减数列；

②若，则对任意的有，数列为单调增数列；

综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次

当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

即当时，数列中必有某数重复出现无数次.

解析： （1） 由题，设的公比为，则，

由依次成等差数列，所以。

即，解得或又，所以，故

所以数列的通项公式为。                                     6分

（2） 由（1）得，，所以                     8分

则，，

由恒成立，得。                                         12分

（1） 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，

所以  

又因为，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列。

所以an－×2n＝×（－1）n－1，即an＝[2n－（－1）n]，所以bn＝2n－（－1）n，  （5分）

（2） 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－（－1）k－1]＋[2k＋1－（－1）k＋1]＝2[2k－（－1）k]，即2k－1＝4（－1）k－1。

① 若k为偶数，则2k－1＞0,4（－1）k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列，（7分）

② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4（－1）k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列。

综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列，（9分）

（3） 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，

即3＋2s－（－1）s＝2[2r－（－1）r]，即2s－2r＋1＝（－1）s－2（－1）r－3，（﹡） （10分）

① 若s＝r＋1，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1＝0，

右端（－1）s－2（－1）r－3＝（－1）s＋2（－1）s－3＝3（－1）s－3，

要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时，又s＞r＞1，且s，r为正整数，

所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列，（12分）

② 若s≥r＋2时，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，

由（2）可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）；右端（－1）s－2（－1）s－3≤0.所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列，

综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。